Seja llx+1, & se x<2 1, & se x >= 2.
(a) f é contínua em 2? Por quê?
(b) f é derivável em 2? Por quê?

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)=x+1,&x<21,&x>=2
O objetivo é verificar se ela é contínua e derivável em x=2, usando as definições de limite, continuidade e derivada.

Passo 2

Para testar continuidade em x=2, lembramos que f é contínua em 2 se
limxto2f(x)=f(2)
Calculando os limites laterais temos:
limxto2^-f(x)=2+1=3,
limxto2^+f(x)=1,
e
f(2)=1
Como o limite à esquerda (3) é diferente de f(2) (1), a função não é contínua em 2.

Passo 3

Para verificar derivabilidade em x=2, basta usar o fato de que derivabilidade implica continuidade: se uma função não é contínua num ponto, ela não pode ser derivável ali. Como f não é contínua em 2, não há como ela ser derivável em 2.

Resposta

(a) Não. Porque limxto2^-f(x)=3 difere de f(2)=1, logo falta continuidade. (b) Não. Como não é contínua em 2, também não pode ser derivável em 2.

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