Encontre o período fundamental T de f e a sua frequência fundamental \omega=\frac{2 \pi}{T}. Escreva f como série de Fourier explicitando os coeficientes a_{0}, a_{n} e b_{n}. Além disso, escreva a forma harmônica desta série de Fourier (ou seja, a forma amplitude fase).
explicitando a_{0},a_{n},b_{n};
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3) escrever a forma harmônica (amplitude-fase) da série, isto é cada harmônico como C_{n}\cos(n\omega t-\varphi_{n}).
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Informações úteis dadas no enunciado (listei os termos separadamente):
Calculo dos períodos individuais usando a fórmula do período de um termo sen/cos: se o argumento é \Omega t então o período é T=\dfrac{2\pi}{\Omega}.
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Para 3\operatorname{sen}(\pi t): \Omega=\pi então
T_{1}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Para \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}t\right) e \sqrt{3}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}t\right): \Omega=\tfrac{3\pi}{2} então
T_{2}=\frac{2\pi}{3\pi/2}=\frac{4}{3}.
Para -2\cos(2\pi t) e -2\sqrt{3}\operatorname{sen}(2\pi t): \Omega=2\pi então
T_{3}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Passo 3
O período fundamental T da soma é o menor T>0 que seja múltiplo inteiro de todos os períodos individuais T_{1},T_{2},T_{3}.
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Escrevendo em terços: T_{1}=2=\tfrac{6}{3}, T_{2}=\tfrac{4}{3}, T_{3}=1=\tfrac{3}{3}.
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O mínimo múltiplo comum dos numeradores 6,4,3 é \operatorname{lcm}(6,4,3)=12. Dividindo por 3 obtemos
T=\frac{12}{3}=4.
Verificação rápida: 4/2=2\in\mathbb{Z}, 4/(4/3)=3\in\mathbb{Z}, 4/1=4\in\mathbb{Z}. Logo T=4 é o período fundamental.
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \cos(n\omega_{0}t) e \sin(n\omega_{0}t) sobre um período: produtos cruzados integram para zero e \int_{0}^{T}\cos^{2}(n\omega_{0}t)\,dt=\int_{0}^{T}\sin^{2}(n\omega_{0}t)\,dt=T/2. Vou usar isso para justificar os coeficientes.
Passo 6
Identifico cada termo com um harmônico n tal que n\omega_{0} é a sua frequência angular:
Resolver n\frac{\pi}{2}= (cada \Omega):
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Para \Omega=\pi: n\frac{\pi}{2}=\pi\Rightarrow n=2.
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Para \Omega=\tfrac{3\pi}{2}: n\frac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow n=3.
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Para \Omega=2\pi: n\frac{\pi}{2}=2\pi\Rightarrow n=4.
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Portanto só aparecem harmônicos n=2,3,4 (os demais n têm coeficientes zero).
Passo 7
Cálculo de a_{0}: como a_{0}=\dfrac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt, e cada termo seno/cosseno integrado sobre um número inteiro de ciclos dá zero, temos a_{0}=0.
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Explicando por que: em T=4 o termo com período 2 faz 2 ciclos, o termo com período 4/3 faz 3 ciclos, o termo com período 1 faz 4 ciclos; a integral média de cada seno/cosseno é zero, logo a média total é zero.
Passo 8
Determinação de a_{n} e b_{n} por leitura direta (e justificativa pela ortogonalidade).
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Escrevo cada termo na forma \alpha\cos(n\omega_{0}t)+\beta\sin(n\omega_{0}t) para o n correspondente:
Pelo princípio da ortogonalidade, os coeficientes a_{n},b_{n} são exatamente os coeficientes dessas representações para cada n. Assim:
a_{0}=0,
a_{1}=0,\qquad b_{1}=0 \quad(\text{nenhum termo de }n=1),
a_{2}=0,\qquad b_{2}=3,
a_{3}=1,\qquad b_{3}=\sqrt{3},
a_{4}=-2,\qquad b_{4}=-2\sqrt{3},
e para todo n\ge 5 temos a_{n}=0 e b_{n}=0.
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(Demonstração rápida por integral para a_{3}: a_{3}=\dfrac{2}{T}\int_{0}^{T}f\cos(3\omega_{0}t)\,dt. Apenas o termo \cos(3\omega_{0}t) contribui com \dfrac{2}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}(3\omega_{0}t)\,dt=\dfrac{2}{T}\cdot \dfrac{T}{2}=1; o produto cos×sin e os produtos com outros harmônicos integram para zero. Resultado a_{3}=1. O mesmo raciocínio dá os outros coeficientes.)
Passo 9
Escrevo a série de Fourier completa (aqui \omega_{0}=\dfrac{\pi}{2}):
(explicando: \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo cujo cosseno é x/C e seno é y/C, escolhendo o quadrante certo).
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Calculo para cada harmônico não nulo:
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n=2: a_{2}=0,\;b_{2}=3\Rightarrow C_{2}=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=3,\;\varphi_{2}=\operatorname{atan2}(3,0)=\tfrac{\pi}{2}. Então
n=4: a_{4}=-2,\;b_{4}=-2\sqrt{3}\Rightarrow C_{4}=\sqrt{4+12}=4. Para a fase escolhemos a representação no intervalo (-\pi,\pi]: \varphi_{4}=\operatorname{atan2}(-2\sqrt{3},-2)=-\tfrac{2\pi}{3}. Então
com (\omega_{0}=\dfrac{\pi}{2}].
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Forma harmônica (amplitude-fase): f(t)=3\cos\!\bigl(2\omega_{0}t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)+2\cos\!\bigl(3\omega_{0}t-\tfrac{\pi}{3}\bigr)+4\cos\!\bigl(4\omega_{0}t+\tfrac{2\pi}{3}\bigr).