Exercício 2. Considere a função
. Encontre o período fundamental
de
e a sua frequência fundamental
. Escreva
como série de Fourier explicitando os coeficientes
e
. (Dica: observe que
já é uma soma de senos e cossenos).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- O período fundamental
de . - A frequência angular fundamental
. - Escrever
como série de Fourier, explicitando os coeficientes .
Informações relevantes fornecidas:
é uma constante;
e
são senos/cossenos com argumentos lineares em
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Vamos achar os períodos individuais das três parcelas e depois o período fundamental da soma.
Regra útil (explique): se temos uma função
ou
, o período dessa função é
porque ao aumentar
de
o argumento
aumenta de
e a função repete.
Aplicando isso:
A constante
é periodica com qualquer período (não limita o período da soma).
O período fundamental
da soma é o mínimo
que é múltiplo de
e
, ou seja o mínimo múltiplo comum (mmc) de
e
.
Portanto
Passo 3
Agora a frequência angular fundamental:
É bom notar que as frequências angulares das parcelas são múltiplos inteiros de
:
Ou seja, as parcelas correspondem a harmônicos
(seno) e
(cosseno) da frequência fundamental.
Passo 4
Escrever
com
. As fórmulas para os coeficientes (para função de período
) são:
Explicação didática da técnica que vamos usar (importante para prova): como
já é soma de termos
e
com
inteiro, os coeficientes resultantes serão quase todos zero, salvo para os
correspondentes aos harmônicos presentes. Isso decorre da ortogonalidade das funções trigonométricas no intervalo de um período:
o mesmo vale para
, e
para todos
. Essas relações permitem “isolar” cada coeficiente.]
Passo 5
Cálculo de
(média/termo constante):
As integrais de seno e cosseno sobre um número inteiro de períodos valem zero. Como
é múltiplo de
e
, as duas integrais das partes oscilantes são zero. Logo
Portanto o termo constante na série é
, como a própria função já mostra.
Passo 6
Cálculo dos coeficientes
. Usamos linearidade da integral e ortogonalidade:
A integral da constante
multiplicada por
é zero para todo
. A integral envolvendo
também é zero para todo
por ortogonalidade (seno com cosseno). Resta a contribuição do termo
. Como
, esse termo é
. Pela ortogonalidade, a integral será zero para
e não-nula apenas para
. Calcule para
:
porque
. Substituindo
:
Portanto
Passo 7
Cálculo dos coeficientes
. Analogamente,
A constante e o cosseno dão integral zero (constante com seno e cosseno com seno são ortogonais neste caso). O único termo que pode contribuir é
. Pela ortogonalidade, só há contribuição quando
. Para
:
Usando
:
Assim
Passo 8
Montando a série de Fourier com os coeficientes encontrados:
Com
,
,
e todos os outros coeficientes nulos, obtemos
onde
. Se quisermos recuperar exatamente a forma original:
portanto a série coincide com a expressão original
Resposta
com