Exercício 2. Considere a função f(t)=1-\operatorname{sen}(t \pi / 2)+5 \cos (t \pi / 3). Encontre o período fundamental T de f e a sua frequência fundamental \omega=\frac{2 \pi}{T}. Escreva f como série de Fourier explicitando os coeficientes a_{0}, a_{n} e b_{n}. (Dica: observe que f já é uma soma de senos e cossenos).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=1-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)+5\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right)
e pede três coisas:
  1. O período fundamental T de f.
  2. A frequência angular fundamental \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
  3. Escrever f como série de Fourier, explicitando os coeficientes a_{0},a_{n},b_{n}.
Informações relevantes fornecidas:
\;1 é uma constante; \;\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right) e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right) são senos/cossenos com argumentos lineares em t. Não há outras informações externas.

Passo 2

Vamos achar os períodos individuais das três parcelas e depois o período fundamental da soma.
Regra útil (explique): se temos uma função \sin(\alpha t) ou \cos(\alpha t), o período dessa função é
T_\text{parte}=\frac{2\pi}{\alpha},
porque ao aumentar t de T_\text{parte} o argumento \alpha t aumenta de 2\pi e a função repete.
Aplicando isso:
\text{Para } \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right):\quad \alpha=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow T_{1}=\frac{2\pi}{\pi/2}=4.
\text{Para } \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right):\quad \alpha=\tfrac{\pi}{3}\Rightarrow T_{2}=\frac{2\pi}{\pi/3}=6.
A constante 1 é periodica com qualquer período (não limita o período da soma).
O período fundamental T da soma é o mínimo T>0 que é múltiplo de T_{1} e T_{2}, ou seja o mínimo múltiplo comum (mmc) de 4 e 6.
\operatorname{mmc}(4,6)=12.
Portanto
T=12.

Passo 3

Agora a frequência angular fundamental:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}.
É bom notar que as frequências angulares das parcelas são múltiplos inteiros de \omega:
\frac{\pi}{2}=3\cdot\frac{\pi}{6}=3\omega,\qquad \frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\pi}{6}=2\omega.
Ou seja, as parcelas correspondem a harmônicos n=3 (seno) e n=2 (cosseno) da frequência fundamental.

Passo 4

Escrever f\) como série de Fourier: adotamos a forma padrão (para período \(T\)): \[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)\right],
com \omega=\dfrac{\pi}{6}. As fórmulas para os coeficientes (para função de período T) são:
a_{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt,
a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\qquad n\ge1,
b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)\,dt,\qquad n\ge1.
Explicação didática da técnica que vamos usar (importante para prova): como f já é soma de termos \cos(k\omega t) e \sin(k\omega t) com k inteiro, os coeficientes resultantes serão quase todos zero, salvo para os n correspondentes aos harmônicos presentes. Isso decorre da ortogonalidade das funções trigonométricas no intervalo de um período:
\int_{0}^{T}\cos(n\omega t)\cos(m\omega t)\,dt= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \frac{T}{2},& n=m\ne0, \end{cases}
o mesmo vale para \sin\] com \(\sin, e \int_{0}^{T}\cos(n\omega t)\sin(m\omega t)\,dt=0 para todos n,m. Essas relações permitem “isolar” cada coeficiente.]

Passo 5

Cálculo de a_{0} (média/termo constante):
a_{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt =\frac{2}{12}\int_{0}^{12}\biggl(1-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr)+5\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}t\bigr)\biggr)\,dt.
As integrais de seno e cosseno sobre um número inteiro de períodos valem zero. Como T=12 é múltiplo de 4 e 6, as duas integrais das partes oscilantes são zero. Logo
a_{0}=\frac{2}{12}\int_{0}^{12}1\,dt=\frac{2}{12}\cdot 12=2.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=1, como a própria função já mostra.

Passo 6

Cálculo dos coeficientes a_{n}. Usamos linearidade da integral e ortogonalidade:
a_{n}=\frac{2}{12}\int_{0}^{12}\left(1-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr)+5\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}t\bigr)\right)\cos(n\omega t)\,dt.
A integral da constante 1 multiplicada por \cos(n\omega t) é zero para todo n\ge1. A integral envolvendo \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}t)\cos(n\omega t) também é zero para todo n por ortogonalidade (seno com cosseno). Resta a contribuição do termo 5\cos(\tfrac{\pi}{3}t). Como \tfrac{\pi}{3}=2\omega, esse termo é 5\cos(2\omega t). Pela ortogonalidade, a integral será zero para n\ne2 e não-nula apenas para n=2. Calcule para n=2:
a_{2}=\frac{2}{12}\int_{0}^{12}5\cos^{2}(2\omega t)\,dt =\frac{2}{12}\cdot 5\cdot\frac{T}{2}
porque \int_{0}^{T}\cos^{2}(2\omega t)\,dt=\dfrac{T}{2}. Substituindo T=12:
a_{2}=\frac{2}{12}\cdot 5\cdot\frac{12}{2}=5.
Portanto
a_{n}= \begin{cases} 5,& n=2,\\[4pt] 0,& n\ne2. \end{cases}]

Passo 7

Cálculo dos coeficientes b_{n}. Analogamente,
b_{n}=\frac{2}{12}\int_{0}^{12}\left(1-\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}t\bigr)+5\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}t\bigr)\right)\sin(n\omega t)\,dt.
A constante e o cosseno dão integral zero (constante com seno e cosseno com seno são ortogonais neste caso). O único termo que pode contribuir é -\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}t)=-\sin(3\omega t). Pela ortogonalidade, só há contribuição quando n=3. Para n=3:
b_{3}=\frac{2}{12}\int_{0}^{12}\bigl(-\sin^{2}(3\omega t)\bigr)\,dt =\frac{2}{12}\cdot(-1)\cdot\frac{T}{2}.
Usando T=12:
b_{3}=\frac{2}{12}\cdot(-1)\cdot\frac{12}{2}=-1.
Assim
b_{n}= \begin{cases} -1,& n=3,\\[4pt] 0,& n\ne3. \end{cases}]

Passo 8

Montando a série de Fourier com os coeficientes encontrados:
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)\bigr].
Com a_{0}=2, a_{2}=5, b_{3}=-1 e todos os outros coeficientes nulos, obtemos
f(t)=1+5\cos(2\omega t)-\sin(3\omega t),
onde \omega=\dfrac{\pi}{6}. Se quisermos recuperar exatamente a forma original:
\cos(2\omega t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right),\qquad \sin(3\omega t)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right),
portanto a série coincide com a expressão original
f(t)=1-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)+5\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}t\right).

Resposta

T=12
\omega=\dfrac{\pi}{6}
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)\bigr],
com
a_{0}=2,\quad a_{2}=5,\quad a_{n}=0\\ (n\ne2),\quad b_{3}=-1,\quad b_{n}=0\\ (n\ne3).

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