Exercício 1. Encontre a série de Fourier das funções definidas através das expressões abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t \in[-2,-1) \\\\ 1, & t \in(-1,1) \\\\ 0, & t \in(1,2)\end{array}, f(-1)=f(1)=1 / 2\right. e satisfazendo f(t+4)=f(t), \forall t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O problema pede: encontrar a série de Fourier da função f(t)\) periódica de período \(4\) definida por \[f(t)=\begin{cases} 0, & t\in[-2,-1),\\[4pt] 1, & t\in(-1,1),\\[4pt] 0, & t\in(1,2), \end{cases}
com f(-1)=f(1)=1/2\] e \(f(t+4)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função tem período T=4.
  • No intervalo representativo [-2,2) a função vale 1 apenas em (-1,1) e vale 0 em (-2,-1)\cup(1,2).
  • Os pontos de descontinuidade em t=\pm 1 são definidos por f(\pm1)=1/2 (isso corresponde ao valor do ponto que garante a série convergir ao ponto médio).
  • Quer-se a série de Fourier completa (termos senos e cossenos e termo constante).]

Passo 2

Vamos escrever a fórmula padrão da série de Fourier para uma função periódica de período T. A frequência angular fundamental é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
A série de Fourier (forma real) é
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\right).
As fórmulas para os coeficientes (usando um intervalo de comprimento T, por exemplo [-2,2]) são
a_n=\frac{2}{T}\int_{-2}^{2} f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{-2}^{2} f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt,
para n\ge1, e
a_0=\frac{2}{T}\int_{-2}^{2} f(t)\,dt.
Explicando: a_0/2 é o termo médio (constante) da série; a_n mede a projeção de f sobre \cos(n\omega_0 t) e b_n mede a projeção sobre \sin(n\omega_0 t). Aqui n é o índice do harmônico.

Passo 3

Observação sobre simetria (muito útil para simplificar): a função f é par, isto é, f(-t)=f(t) para todo t, porque a região onde vale 1 é simétrica em relação à origem e o restante é zero simetricamente. Para funções pares:
  • Todos os coeficientes b_n (associados aos senos, funções ímpares) serão zero, porque a integral do produto de uma função par por uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.
    Logo
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Calcular a_0 (termo médio). Usamos a definição:
a_0=\frac{2}{T}\int_{-2}^{2} f(t)\,dt=\frac{2}{4}\int_{-2}^{2} f(t)\,dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(t)\,dt.
Como f(t)=1 apenas em (-1,1) e zero no restante (os pontos isolados \pm1 não mudam a integral), temos
\int_{-2}^{2} f(t)\,dt=\int_{-1}^{1}1\,dt=2.
Portanto
a_0=\frac{1}{2}\cdot 2=1,
e o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a_n para n\ge1. Pela definição,
a_n=\frac{2}{T}\int_{-2}^{2} f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(t)\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}t\right)\,dt.
Como f(t) é zero fora de [-1,1], a integral reduz-se a
a_n=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}t\right)\,dt.
Para integrar, coloque k=n\frac{\pi}{2}. Então
\int_{-1}^{1}\cos(k t)\,dt=\left[\frac{\sin(k t)}{k}\right]_{-1}^{1}=\frac{\sin(k)-\sin(-k)}{k}=\frac{2\sin(k)}{k},
porque \sin(-k)=-\sin(k). Substituindo de volta,
a_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sin\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin\!\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n\frac{\pi}{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por 2 para escrever de forma comum:
a_n=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).

Passo 6

Interpretar e simplificar a_n. Observando os valores de \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right):
  • Para n=1: \sin(\pi/2)=1.
  • Para n=2: \sin(\pi)=0.
  • Para n=3: \sin(3\pi/2)=-1.
  • Para n=4: \sin(2\pi)=0.
    Em geral \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 quando n é par, e quando n é ímpar (escrevendo n=2m-1) temos
\sin\!\left(\frac{(2m-1)\pi}{2}\right)=(-1)^{m-1}.
Logo a_n=0 para todo n par, e para n=2m-1 (ímpares)
a_{2m-1}=\frac{2}{(2m-1)\pi}(-1)^{m-1}.

Passo 7

Reescrever a série usando os coeficientes encontrados. Lembrando que b_n=0 e a_0=1, a série fica
f(t)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}t\right),
com a_n=\dfrac{2}{n\pi}\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right). Usando apenas os termos ímpares (os pares têm coeficiente zero) podemos escrever a forma mais compacta
f(t)=\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m-1}}{(2m-1)\pi}\cos\!\left(\frac{(2m-1)\pi}{2}t\right).

Passo 8

Comentário sobre convergência (útil para prova): como f é contínua por partes no intervalo e tem apenas descontinuidades jump finitas em t=\pm1, a série de Fourier converge ponto a ponto para f(t) em todos os pontos de continuidade e converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Assim, em t=\pm1 a série converge para 1/2, que coincide com o valor definido no enunciado.

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(n\frac{\pi}{2}t\right)
\text{Equivalente: } \quad f(t)=\frac{1}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m-1}}{(2m-1)\pi}\cos\!\left(\frac{(2m-1)\pi}{2}t\right).

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