Exercício 1. Encontre a série de Fourier das funções definidas através das expressões abaixo: f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t \in[-2,-1) \\\\ 1, & t \in(-1,1) \\\\ 0, & t \in(1,2)\end{array}, f(-1)=f(1)=1 / 2\right. e satisfazendo f(t+4)=f(t), \forall t \in \mathbb{R}.
Passo 1
O problema pede: encontrar a série de Fourier da função f(t)\) periódica de período \(4\) definida por
\[f(t)=\begin{cases} 0, & t\in[-2,-1),\\[4pt] 1, & t\in(-1,1),\\[4pt] 0, & t\in(1,2), \end{cases}
com f(-1)=f(1)=1/2\] e \(f(t+4)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função tem período T=4.
No intervalo representativo [-2,2) a função vale 1 apenas em (-1,1) e vale 0 em (-2,-1)\cup(1,2).
Os pontos de descontinuidade em t=\pm 1 são definidos por f(\pm1)=1/2 (isso corresponde ao valor do ponto que garante a série convergir ao ponto médio).
Quer-se a série de Fourier completa (termos senos e cossenos e termo constante).]
Passo 2
Vamos escrever a fórmula padrão da série de Fourier para uma função periódica de período T. A frequência angular fundamental é
Explicando: a_0/2 é o termo médio (constante) da série; a_n mede a projeção de f sobre \cos(n\omega_0 t) e b_n mede a projeção sobre \sin(n\omega_0 t). Aqui n é o índice do harmônico.
Passo 3
Observação sobre simetria (muito útil para simplificar): a função f é par, isto é, f(-t)=f(t) para todo t, porque a região onde vale 1 é simétrica em relação à origem e o restante é zero simetricamente. Para funções pares:
Todos os coeficientes b_n (associados aos senos, funções ímpares) serão zero, porque a integral do produto de uma função par por uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.
Logo
com a_n=\dfrac{2}{n\pi}\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right). Usando apenas os termos ímpares (os pares têm coeficiente zero) podemos escrever a forma mais compacta
Comentário sobre convergência (útil para prova): como f é contínua por partes no intervalo e tem apenas descontinuidades jump finitas em t=\pm1, a série de Fourier converge ponto a ponto para f(t) em todos os pontos de continuidade e converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Assim, em t=\pm1 a série converge para 1/2, que coincide com o valor definido no enunciado.