Exercício 3 Considere a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6}
resolva a desigualdade f(x)>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6} > 1.
O conteúdo aqui envolve análise de domínio (por causa da raiz e do denominador) e estudo de sinal para poder multiplicar sem perder soluções.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6}:
  1. A raiz exige x^{2}-4\ge0, ou seja |x|\ge2. Isso dá x\le -2 ou x\ge2.
  2. O denominador não pode ser zero, então x\neq -6.
    Portanto o domínio é
(-\infty,-6)\;\cup\;(-6,-2]\;\cup\;[2,\infty).

Passo 3

Vamos estudar a desigualdade em cada trecho onde o denominador tem sinal fixo:
Intervalo 1: x< -6
Aqui x+6<0. Ao multiplicar ambos os lados de
\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6} > 1
por x+6 (negativo), invertemos o sinal:
\sqrt{x^{2}-4} < x+6.
Porém \sqrt{x^{2}-4}\ge0 e x+6<0, então não há como um número não‐negativo ser menor que um número negativo. Logo não há soluções em (-\infty,-6).

Passo 4

Intervalo 2: -6 < x < -2
Aqui x+6>0. Multiplicamos a desigualdade sem mudar de sinal:
\sqrt{x^{2}-4} > x+6.
Como ambos os lados são não negativos neste trecho, podemos elevar ao quadrado:
x^{2}-4 > (x+6)^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-4 > x^{2}+12x+36.
Cancelando x^{2} em ambos os lados:
-4 > 12x+36 \quad\Longrightarrow\quad 12x < -40 \quad\Longrightarrow\quad x < -\frac{40}{12} \quad\Longrightarrow\quad x < -\frac{10}{3}.
Interseccionando com -6 < x < -2, obtemos
-6 < x < -\frac{10}{3}.

Passo 5

Intervalo 3: x\ge 2
Aqui x+6>0 de novo. Repetindo o mesmo passo levaria à mesma condição x< -\tfrac{10}{3}, que não se cruza com x\ge2. Logo não há soluções em [2,\infty).

Resposta

\boxed{\bigl(-6,\,-\tfrac{10}{3}\bigr)}

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