Exercício 3 Considere a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6}
resolva a desigualdade f(x) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
f(x) = \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x+6} \le 0.
O conteúdo é desigualdade envolvendo expressão com raiz quadrada. Para resolver, primeiro vamos achar o domínio de f e depois analisar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo x^{2}-4\ge0 e x+6\neq0:
x^{2}-4\ge0\implies x\le -2\quad\text{ou}\quad x\ge2,
x+6\neq0\implies x\neq -6.
Logo
\Dom(f)=(-\infty,-6)\;\cup\;(-6,-2]\;\cup\;[2,\infty).

Passo 3

Observamos que \sqrt{x^{2}-4}\ge0 para todo x em \Dom(f). Assim, o sinal de f(x) é dado por
  • f(x)=0 quando \sqrt{x^{2}-4}=0,
  • f(x)<0 quando \sqrt{x^{2}-4}>0 e x+6<0,
  • f(x)>0 quando \sqrt{x^{2}-4}>0 e x+6>0.

Passo 4

  1. Zeros de f: \sqrt{x^{2}-4}=0 implica x^{2}-4=0, isto é x=\pm2. Ambos estão no domínio, e aí f(\pm2)=0.
  2. Região onde f(x)<0: \sqrt{x^{2}-4}>0 para x<-2 ou x>2, e queremos x+6<0, ou seja x< -6. A interseção com o domínio é exatamente (-\infty,-6).
Portanto, a solução de f(x)\le0 combina a parte negativa e os zeros:
(-\infty,-6)\;\cup\;\{-2,\,2\}.

Resposta

(-\infty,-6)\cup\{-2,2\}.

Exercícios relacionados