Exercício 3. Utilize os resultados dos exercícios anteriores, junto com as propriedades de \mathcal{F} para encontrar a transformada de Fourier das funções abaixo. Considere que a>0 e \mu \in \mathbb{R} são constantes reais.
a. f(t)=e^{-a(t-\mu)^{2}};
b. f(t)=\frac{\operatorname{sen}^{2}(t-1)}{3 t};
c. f(t)=(3 t-2)^{2} e^{2-3 t};
d. f(t)=\frac{\operatorname{sen}^{2}(t)}{t^{2}};
e. f(t)=(3-4 t) e^{-\frac{t^{2}}{2}};
f. f(t)=e^{-2 t^{2}-|t|};
g. f(t)=\frac{e^{-t^{2}} \operatorname{sen}^{2}(2 t)}{t};
h. f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2 x^{2}} e^{-|t-x|} d x.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Fourier \mathcal{F}\{f\}(\omega) das funções listadas de (a) até (h). As constantes dadas são a>0 e \mu\in\mathbb{R}. Vou usar apenas as informações do enunciado e as propriedades usuais da transformada de Fourier.
Informações relevantes fornecidas:
Querem \mathcal{F}\{f\}(\omega) para cada uma das funções abaixo.
As constantes são a>0 e \mu\in\mathbb{R}.
As funções envolvem deslocamentos, produtos por polinômios, valores absolutos, convoluções implícitas e funções singulares (por exemplo 1/t); portanto poderão aparecer transformadas em sentido de distribuição (valor principal) quando necessário.
A resolução começará a seguir usando propriedades padrão da transformada de Fourier e resultados clássicos (por exemplo, transformada da gaussiana, da função e^{-|t|}, e da função principal valor 1/t).
Passo 2
Definição e propriedades que vou usar (explicadas de forma didática).
Convenção escolhida para a transformada de Fourier: para uma função f\) integrável, defino
\[\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Esta é uma convenção muito usada em análise. Todas as propriedades abaixo estão escritas com essa convenção.
Transformada da gaussiana pura. Fórmula conhecida (e facilmente obtida completando quadrado):
Explicação rápida: a integral \int e^{-a t^{2}}e^{-i\omega t}dt faz um “completo de quadrado” no expoente e dá a constante \sqrt{\pi/a} multiplicada por um fator exponencial em \omega.
Propriedade de deslocamento no tempo (translação): se g(t)=f(t-\mu) com \mu\in\mathbb{R}, então
onde \operatorname{sgn}(\omega)=\begin{cases}1,&\omega>0,\\\ 0,&\omega=0,\\\ -1,&\omega<0.\end{cases}\]
Isto é clássico e útil quando aparecem \(\frac{1}{t} multiplicando funções ou ao decidir transformada de \sin x / x-tipo.
Transformada da função sinc (sem normalização \sin t / t):
onde \mathbf{1}_{[-1,1]} é a função indicadora do intervalo [-1,1]. A explicação é: \int_{-1}^{1} e^{i\omega t} d\omega relação com transformada inversa; é um resultado padrão (pode ser visto integrando por partes ou reconhecendo como transformada da retângulo).
Com essas ferramentas podemos resolver cada item.
Passo 3
Função: f(t)=e^{-a(t-\mu)^{2}} com a>0, \mu\in\mathbb{R}.
Primeiro reconheço que f(t)=g(t-\mu) com g(t)=e^{-a t^{2}}.
Sei a transformada de g: \mathcal{F}\{e^{-a t^{2}}\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.
Aplicando a propriedade de modulação (deslocamento em frequência): \mathcal{F}\{e^{i\alpha t}\,g(t)\}(\omega)=\widehat{g}(\omega-\alpha). Assim, tomando \widehat{\mathrm{p.v.}(1/t)}(\omega)=-i\pi\operatorname{sgn}(\omega),
Observação: esta expressão é em sentido de distribuições (valor principal) porque \dfrac{1}{t} aparece.
Passo 5
Função: [f(t)=(3t-2)^{2} e^{2-3t}).
Observação importante (ambiente de validade): se a função for considerada para todo t\in\mathbb{R} sem fator de suporte, então e^{2-3t} cresce exponencialmente para t\to -\infty e a transformada usual não existe. Normalmente, em exercícios deste tipo, a expressão (3t-2)^{2} e^{2-3t} deve ser entendida multiplicada pela função degrau causal u(t) (ou o enunciado previa isso em exercícios anteriores). Vou então assumir que se quer a transformada da função causal
f(t)=(3t-2)^{2} e^{2-3t}\,u(t),
onde (u(t)=\begin{cases}1,&t\ge0,\\\ 0,&t<0.\end{cases}] (se isto não for a intenção do enunciado, não há transformada clássica).
Simplificando i^{2}=-1 e -12 e^{2} i(-i) = -12 e^{2} i(-i)= -12 e^{2} ( - i^{2}) = -12 e^{2}( -(-1)) — é mais fácil calcular termo a termo:
Para 9t^{2} temos 9 e^{2} i^{2}\cdot(-1)/(3+i\omega)^{3}=9e^{2}(-1)(-1)/(3+i\omega)^{3}=9e^{2}/(3+i\omega)^{3}.
Para -12t temos -12 e^{2} i\cdot(-i)/(3+i\omega)^{2}=-12 e^{2}(i\cdot -i)/(3+i\omega)^{2}=-12 e^{2}(-i^{2})/(3+i\omega)^{2}=-12 e^{2}(-(-1))/(3+i\omega)^{2}=-12 e^{2}(1)/(3+i\omega)^{2}. Mas isto é negativo — vamos recompor cuidadosamente:
calcular i\frac{d}{d\omega}\frac{1}{3+i\omega}=i\cdot\left(\frac{-i}{(3+i\omega)^{2}}\right)=\frac{-i^{2}}{(3+i\omega)^{2}}=\frac{1}{(3+i\omega)^{2}}. Multiplicando por -12 e^{2} dá -12 e^{2}\cdot\frac{1}{(3+i\omega)^{2}}.
É conveniente usar o fato que a transformada de \dfrac{\sin t}{t} é uma função retângulo: \mathcal{F}\{\sin t / t\}(\omega)=\pi\,\mathbf{1}_{[-1,1]}(\omega).
Como f(t) é o quadrado em tempo, aplico a propriedade produto-convolução:
Observação: esta integral é a forma explícita da convolução; em princípio pode-se expressar em termos de funções especiais (funções erro/complemento), mas a forma de integral convolutional é adequada e exata.
Passo 9
Função: f(t)=\dfrac{e^{-t^{2}}\sin^{2}(2t)}{t}.
Estratégia e explicação didática:
Primeiro uso a identidade \sin^{2}(2t)=\tfrac{1-\cos(4t)}{2}. Assim
Tomo p(t)=e^{-t^{2}}, cuja transformada é \widehat{p}(\omega)=\sqrt{\pi}\,e^{-\omega^{2}/4} (usar a fórmula gaussiana com a=1).
Tomo q(t)=\mathrm{p.v.}\dfrac{1}{t}, cuja transformada é \widehat{q}(\omega)=-i\pi \operatorname{sgn}(\omega).
Para o termo com \cos(4t)/t, escrevo \cos(4t)=\tfrac{1}{2}(e^{i4t}+e^{-i4t}) e uso modulação: \mathcal{F}\{e^{i\alpha t} q(t)\}(\omega)=\widehat{q}(\omega-\alpha).
Para o termo com \cos(4t)/t, a transformada é a média (com fatores e^{\pm i4} vindos de \cos(4(t)) se houver um deslocamento de fase; aqui não há deslocamento em t além do 4t na coseno) de duas convoluções deslocadas:
obtido aplicando deslocamentos \omega\mapsto\omega\mp4 nas funções de sinal conforme a propriedade de modulação.
Finalmente, multiplicando por 1/2 (pela identidade de \sin^{2}), obtemos que \mathcal{F}\{f\} é combinação integral envolvendo convolution do gaussiano com funções sinal:
Observação: essa forma é correta e explícita; pode-se manipular as integrais por partes ou reconhecer como combinação de funções de erro complexas, mas a expressão de convolução com \operatorname{sgn} deixa claro que o resultado é uma função imaginária ímpar (porque f é ímpar: \sin^{2}(2t) é par, dividido por t torna ímpar) e está dada por uma integral convolucional com núcleo gaussiano.
(b) \displaystyle \widehat{f}(\omega)=-\frac{i\pi}{6}\Big[\operatorname{sgn}(\omega)
-\tfrac{1}{2}e^{-i2}\operatorname{sgn}(\omega-2)
-\tfrac{1}{2}e^{i2}\operatorname{sgn}(\omega+2)\Big] (em sentido de valor principal)