Exercício 4. Para constantes
, considere
Mostre, direto da definição, que
Passo 1
O enunciado fornece a função de frequência
com
Informações relevantes que o enunciado dá:
- são constantes estritamente positivas.
- A função
é uma combinação racional com termos reais e um termo proporcional a . - O objetivo é calcular
usando a definição da transformada inversa de Fourier.
Passo 2
Primeiro simplificamos algebraicamente
para uma forma mais manejável. Separe os termos com denominadores iguais:
Agrupando, obtemos
Agora usamos a fatoração
. Assim,
e de modo análogo
Portanto conseguimos a forma compacta
Passo 3
Agora escrevemos a definição da transformada inversa de Fourier que vamos usar. Com a convenção padrão,
Pela linearidade da integral, separamos a integral em duas partes correspondentes aos dois termos de
:
onde
Nos próximos passos vamos calcular
e
“direto da definição”, avaliando as integrais impropriamente pela técnica de integração no plano complexo (fechamento de contorno) — que é a forma direta e padrão de avaliar integrais do tipo
.
Breve aula (rápida e prática) sobre a ferramenta que usaremos:
- Resíduo: para um polo simples em
, o resíduo de em é . - Teorema dos resíduos: a integral de
ao longo de um contorno fechado anticlockwise vale vezes a soma dos resíduos dos polos dentro do contorno. - Jordan (intuição): para
, se fecha-se o contorno pela semicírculo superior (porque decai lá); se fecha-se pelo inferior. A contribuição do semicírculo tende a zero sob condições razoáveis (aqui satisfeitas), deixando só os termos dos resíduos.
Passo 4
Cálculo de
. Observe o polo do integrando:
que está no semiplano inferior (porque
tem parte imaginária negativa).
Caso
:
- Para que
decaia no semicírculo, fechamos o contorno no semiplano superior (onde e decai). - O polo
está no inferior, logo não é encoberto pelo contorno superior. - Assim a soma dos resíduos dentro do contorno é zero, e a integral própria sobre a reta real é zero (a contribuição do semicírculo tende a zero por Jordan).
Portanto, para,
Caso
:
- Fechamos o contorno no semiplano inferior (agora
decai lá). - O polo
está dentro do contorno. A orientação do contorno fechado é horário (clockwise), o que introduz um sinal: a integral fechada vale vezes a soma dos resíduos (porque o teorema dos resíduos padrão dá para orientação anticlockwise). - Calculamos o resíduo em
. Escreva . Então
Como
, temos
. Portanto o resíduo vale
.
- A integral fechada (orientação horário) é
vezes o resíduo:
- A contribuição do semicírculo inferior tende a zero por Jordan, logo a integral sobre a reta real é igual à integral fechada:
Dividindo por
obtemos
Caso
: pela continuidade (ou calculando diretamente a integral com
) fica
, consistentemente com
. Assim resumimos
Passo 5
Cálculo de
. Agora o integrando é
O polo ocorre quando
, que está no semiplano superior (porque
).
Caso
:
- Fecha-se o contorno no semiplano inferior; o polo
está no superior e não é encoberto → integral sobre a reta real é zero. - Logo para
, .
Caso
:
- Fecha-se o contorno no semiplano superior (orientação anticlockwise). O polo
está dentro. - Calculamos o resíduo em
. Observe . Assim
Com
vem
. Então resíduo
.
- A integral fechada (orientação padrão anticlockwise) vale
vezes o resíduo:
- A contribuição do semicírculo superior tende a zero por Jordan, logo a integral sobre a reta real é
. Dividindo por ,
Caso
dá
, consistente com
. Assim
Passo 6
Somando os dois resultados
e
obtemos a transformada inversa completa:
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Em
ambos dão , então podemos escrever de forma consistente