Exercício 8. Considere a função . Observe que
-2 -1 0 1
1
.
Usando interpolação inversa calcule uma aproximação da solução da equação e um limitante superior para o erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=x+e^x, ou seja, a solução de
x+e^x=0,
sabendo que
f(-1)=-1+e^-1<0, f(0)=1>0,
logo existe um zero em [-1,0]. Vamos usar interpolação inversa de grau 1 (o mesmo passo da secante) em x0=-1 e x1=0.

Passo 2

A fórmula da interpolação inversa de grau 1 para aproximar a raiz ( y=0) é
x2 = x0 + 0 - f(x0)f(x1) - f(x0),(x1-x0)
Calculando
f(x0)=-1+e^-1approx-0,6321, f(x1)=1,
então
x2 = -1 + 0 - (-0,6321)1 - (-0,6321),(0 - (-1)) = -1 + 0,63211,6321 approx -0,6127

Passo 3

Para limitar o erro usamos o Teorema de Valor Médio: como
f'(x)=1+e^x>= 1+e^-1approx1,3679 forall xin[-1,0],
então, se x^* é a raiz exata e x2 a aproximação,
|x2-x^*|<= |f(x2)|min[-1,0]f'(x) = |,x2+e^x2,|1,3679
Calculamos
f(x2) = -0,6127 + e^-0,6127 approx -0,0711,
logo
|x2-x^*|<= 0,07111,3679approx0,052

Resposta

A aproximação pela interpolação inversa é
xapprox -0,6127
e um limitante superior para o erro é
|x - x^*|<= 0,052

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