Exercício 9. Escreva o polinômio interpolador se usamos os seguintes dados:
(b)
-1 0 1 2 3
1 1 0 -1 -2

Passo 1

Temos os pontos (-1,1), (0,1), (1,0), (2,-1) e (3,-2) e queremos o polinômio de grau <=4 que interpola esses valores. O conteúdo é polinômio interpolador via diferenças finitas e fórmula de Newton–Gregory para nós com espaçamento h=1.

Passo 2

Construímos a tabela de diferenças finitas (na direção de x crescente com passo 1):
c|r|r|r|r|r x & f & De<a f & De<a^2 f & De<a^3 f & De<a^4 fhline -1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & & 2 & -1& -1 & & & 3 & -2& & & &
Dessa tabela, extraímos em x0=-1:
De<a^0 f=f(-1)=1,
De<a^1f(-1)=0,
De<a^2f(-1)=-1,
De<a^3f(-1)=1,
De<a^4f(-1)=-1.

Passo 3

Usando a fórmula de Newton–Gregory para nós igualmente espaçados ( h=1) e t=dfracx-(-1)1=x+1, temos
P(x)=De<a^0 f + De<a^1f;t + De<a^2f2!,t(t-1) + De<a^3f3!,t(t-1)(t-2) + De<a^4f4!,t(t-1)(t-2)(t-3)
Substituindo os valores de De<a^k f(-1):
P(x) =1 + 0cdot t + -12t(t-1) + 16t(t-1)(t-2) - 124t(t-1)(t-2)(t-3)

Passo 4

Podemos expandir para a forma canônica. Fazendo t=x+1 e expandindo, obtemos
P(x) =-124x^4 +14x^3 -1124x^2 -34x +1

Resposta

P(x)=-124x^4+14x^3-1124x^2-34x+1

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