Exercício 7. Estime , usando um polinômio interpolador de segundo grau que minimize o erro, a partir dos dados da seguinte tabela
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
1,25 1,5678 3,6789 8,89 10,5699
. Calcule um limitante superior para o erro.

Passo 1

O enunciado pede estimar f(0,45) usando um polinômio interpolador de segundo grau que minimize o erro, a partir da tabela de pontos. O conteúdo é interpolação polinomial e cota do resto via derivada de terceira ordem.
R2(x)=f^(3)(xi)3!,(x-x0)(x-x1)(x-x2)

Passo 2

Para minimizar l|(x - x0)(x - x1)(x - x2)r| em x=0,45, escolhemos os três nós mais próximos:
x0=0,3, x1=0,5, x2=0,7

Passo 3

Usamos a forma de Lagrange em 0,45. As bases são
ell0(0,45)=0,45-0,50,3-0,5cdot0,45-0,70,3-0,7=0,15625
ell1(0,45)=0,45-0,30,5-0,3cdot0,45-0,70,5-0,7=0,9375
ell2(0,45)=0,45-0,30,7-0,3cdot0,45-0,50,7-0,5=-0,09375
Substituindo os valores de f,
P2(0,45) =1,5678cdot0,15625 +3,6789cdot0,9375 +8,89cdot(-0,09375) approx2,8605

Passo 4

Para cota de erro usamos
|R2(0,45)|<=M3!,l|0,45-0,3r|,l|0,45-0,5r|,l|0,45-0,7r|
onde M=max[0,1]|f^(3)(x)|. Estimamos
M<=6max|f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]|
Calculando as diferenças divididas de terceira ordem para os nós (0,1;0,3;0,5;0,7) e (0,3;0,5;0,7;0,9) obtemos o maior valor absoluto 138,15. Assim
M<=6cdot138,15=828,9 Longrightarrow |R2(0,45)|<=828,96,(0,15)(0,05)(0,25)approx0,2590

Resposta

f(0,45)approx2,8605
l|f(0,45)-P2(0,45)r|<=0,2590

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