Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(c) f(t)=\cos (2 \pi t)-\operatorname{sen}(3 \pi t)
Passo 1
O enunciado pede: obter a forma exponencial da série de Fourier da função f(t)=\cos(2\pi t)-\operatorname{sen}(3\pi t).
Informações dadas: a expressão explícita de f(t). Não há outras informações fornecidas no enunciado (assumiremos que a série é tomada no menor período comum dos termos).
Passo 2
Determinar os períodos dos termos separados (isso é necessário para achar o período fundamental da função composta).
Para \cos(2\pi t): o argumento é 2\pi t. A frequência angular é 2\pi e o período é
T_1=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Para \operatorname{sen}(3\pi t): o argumento é 3\pi t. A frequência angular é 3\pi e o período é
T_2=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}.
Portanto os períodos individuais são T_1=1 e T_2=\tfrac{2}{3}.
Passo 3
Encontrar o menor período comum T da função f(t) (menor T>0 tal que seja múltiplo de T_1 e de T_2).
Múltiplos de T_1=1 são 1,2,3,\dots. Múltiplos de T_2=\tfrac{2}{3} são \tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},2,\dots. O menor múltiplo comum é T=2.
Logo, o período fundamental de f é T=2.
Passo 4
Calcular a pulsação fundamental \omega_0. A relação é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}.
Com T=2 obtemos
\omega_0=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto a série exponencial será escrita como
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \pi t},
onde C_n são os coeficientes complexos da série.
Passo 5
Relembrar as fórmulas de Euler que permitem passar cosseno e seno para exponenciais (isso é essencial para encontrar C_n diretamente):