Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(c) f(t)=\cos (2 \pi t)-\operatorname{sen}(3 \pi t)

Passo 1

O enunciado pede: obter a forma exponencial da série de Fourier da função f(t)=\cos(2\pi t)-\operatorname{sen}(3\pi t).
Informações dadas: a expressão explícita de f(t). Não há outras informações fornecidas no enunciado (assumiremos que a série é tomada no menor período comum dos termos).

Passo 2

Determinar os períodos dos termos separados (isso é necessário para achar o período fundamental da função composta).
Para \cos(2\pi t): o argumento é 2\pi t. A frequência angular é 2\pi e o período é
T_1=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Para \operatorname{sen}(3\pi t): o argumento é 3\pi t. A frequência angular é 3\pi e o período é
T_2=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}.
Portanto os períodos individuais são T_1=1 e T_2=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Encontrar o menor período comum T da função f(t) (menor T>0 tal que seja múltiplo de T_1 e de T_2).
Múltiplos de T_1=1 são 1,2,3,\dots. Múltiplos de T_2=\tfrac{2}{3} são \tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},2,\dots. O menor múltiplo comum é T=2.
Logo, o período fundamental de f é T=2.

Passo 4

Calcular a pulsação fundamental \omega_0. A relação é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}.
Com T=2 obtemos
\omega_0=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto a série exponencial será escrita como
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \pi t},
onde C_n são os coeficientes complexos da série.

Passo 5

Relembrar as fórmulas de Euler que permitem passar cosseno e seno para exponenciais (isso é essencial para encontrar C_n diretamente):
\cos \theta = \frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2},\qquad \sin \theta = \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.
Aqui \theta é um ângulo genérico; no nosso caso \theta será 2\pi t ou 3\pi t.

Passo 6

Transformar \cos(2\pi t) em exponenciais usando Euler e relacionar com os harmônicos da série (lembrando que \omega_0=\pi):
\cos(2\pi t)=\frac{e^{j2\pi t}+e^{-j2\pi t}}{2}.
Como 2\pi t = 2(\pi t) = 2\omega_0 t, isto é
\cos(2\pi t)=\frac{1}{2}e^{j2\omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j2\omega_0 t}.
Isso significa que, contribuindo para a série exponencial, a parte \cos(2\pi t) gera coeficientes não nulos apenas nos índices n=2 e n=-2, com valores
C_2^{(\cos)}=\tfrac{1}{2},\qquad C_{-2}^{(\cos)}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Transformar -\operatorname{sen}(3\pi t) em exponenciais e identificar os harmônicos:
Primeiro escrevemos \sin(3\pi t) via Euler:
\sin(3\pi t)=\frac{e^{j3\pi t}-e^{-j3\pi t}}{2j}.
Multiplicando por -1:
-\sin(3\pi t)=-\frac{e^{j3\pi t}-e^{-j3\pi t}}{2j}.
Agora simplificamos os coeficientes numéricos usando 1/(2j)=-\tfrac{j}{2}. Assim
-\sin(3\pi t)=\underbrace{\left(-\frac{1}{2j}\right)}_{=\tfrac{j}{2}}e^{j3\pi t}+\underbrace{\left(\frac{1}{2j}\right)}_{=-\tfrac{j}{2}}e^{-j3\pi t} =\frac{j}{2}e^{j3\omega_0 t}-\frac{j}{2}e^{-j3\omega_0 t},
pois 3\pi t = 3(\pi t)=3\omega_0 t. Portanto, a contribuição aos coeficientes da série é
C_3^{(\,-\sin)}=\tfrac{j}{2},\qquad C_{-3}^{(\,-\sin)}=-\tfrac{j}{2}.

Passo 8

Somar as contribuições dos dois termos e concluir quais coeficientes C_n são não nulos. Das etapas anteriores:
  • Da \cos(2\pi t): C_2=\tfrac{1}{2}, C_{-2}=\tfrac{1}{2}.
  • De -\sin(3\pi t): C_3=\tfrac{j}{2}, C_{-3}=-\tfrac{j}{2}.
    Todos os outros C_n para n\notin\{-3,-2,2,3\} são zero.

Passo 9

Escrever a série exponencial completa reunindo os termos não nulos (forma final conveniente):
f(t)=\frac{1}{2}e^{j2\pi t}+\frac{1}{2}e^{-j2\pi t}+\frac{j}{2}e^{j3\pi t}-\frac{j}{2}e^{-j3\pi t},
ou, usando a notação em soma infinita com \omega_0=\pi,
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \pi t},
com os coeficientes C_n dados por
C_2=\tfrac{1}{2},\; C_{-2}=\tfrac{1}{2},\; C_3=\tfrac{j}{2},\; C_{-3}=-\tfrac{j}{2},\; C_n=0\\ \text{para os demais }n.

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}e^{j2\pi t}+\frac{1}{2}e^{-j2\pi t}+\frac{j}{2}e^{j3\pi t}-\frac{j}{2}e^{-j3\pi t}
C_2=\tfrac{1}{2},\quad C_{-2}=\tfrac{1}{2},\quad C_3=\tfrac{j}{2},\quad C_{-3}=-\tfrac{j}{2},\quad C_n=0\\ (n\notin\{-3,-2,2,3\})

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