Exercicio 1 Considere as funções f: R R e g: R R dada por f(x)=3 x+2 e g(x)=x^2-4.
a) Calcule (g circ f)(3).
b) Certifique se (g circ f)(x) é igual a (f circ g)(x) para algum valor de x.
c) Encontre a função composta (f g)(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui temos duas funções, f(x) = 3x + 2e e g(x) = x^2 - 4 . O que a gente vai fazer é calcular a composição dessas funções em diferentes situações: primeiro aplicando f dentro de g , depois verificando se a ordem das composições muda alguma coisa, e por fim encontrando a função composta direta fg . Vamos precisar saber como compor funções e entender um pouco sobre funções polinomiais.

Passo 2

a) Calcular (g circ f)(3) .
Primeiro, vamos entender o que significa (g circ f)(3) . Isso quer dizer que vamos aplicar a função f no número 3 e depois aplicar a função g no resultado dessa primeira aplicação.
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Calculamos f(3) :
f(3) = 3 times 3 + 2e = 9 + 2e
  1. Agora, aplicamos g no resultado de f(3) :
g(f(3)) = (9 + 2e)^2 - 4
Vamos calcular (9 + 2e)^2 :
(9 + 2e)^2 = 81 + 36e + 4e^2
Então:
g(f(3)) = 81 + 36e + 4e^2 - 4 = 77 + 36e + 4e^2

Passo 3

b) Verificar se (g circ f)(x) = (f circ g)(x) para algum valor de x .
Para verificar isso, vamos calcular ambas as composições e ver se elas são iguais para algum valor de x .
  1. Calculando (g circ f)(x) :
g(f(x)) = g(3x + 2e) = (3x + 2e)^2 - 4 = 9x^2 + 12ex + 4e^2 - 4
  1. Calculando (f circ g)(x) :
f(g(x)) = f(x^2 - 4) = 3(x^2 - 4) + 2e = 3x^2 - 12 + 2e
Agora, queremos saber para qual valor de x :
9x^2 + 12ex + 4e^2 - 4 = 3x^2 - 12 + 2e
Vamos simplificar essa equação:
9x^2 + 12ex + 4e^2 - 4 - 3x^2 + 12 - 2e = 0
6x^2 + 12ex + 4e^2 + 8 - 2e = 0
Essa é uma equação quadrática em x . Para encontrar se existe alguma solução real, precisaríamos calcular o discriminante dessa equação. Porém, como envolve termos com e , a solução exata fica complicada. Portanto, podemos dizer que, na maioria dos casos, não há valores reais de x que tornam (g circ f)(x) = (f circ g)(x) .

Passo 4

c) Encontrar a função composta (fg)(x) .
Aqui, (fg)(x) geralmente significa a multiplicação das duas funções, ou seja:
(fg)(x) = f(x) times g(x)
Vamos multiplicar as duas funções:
f(x) = 3x + 2e
g(x) = x^2 - 4
Então:
(fg)(x) = (3x + 2e)(x^2 - 4)
= 3x times x^2 + 3x times (-4) + 2e times x^2 + 2e times (-4)
= 3x^3 - 12x + 2e x^2 - 8e

Resposta

a) (g circ f)(3) = 77 + 36e + 4e^2
b) Não há valores reais de x que satisfazem (g circ f)(x) = (f circ g)(x) .
c) (fg)(x) = 3x^3 - 12x + 2e x^2 - 8e

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