Obtenha uma solução geral para:
t d yd t+3 y=t^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede para achar a solução geral da equação
t dydt + 3y = t^2
Isso é uma EDO (equação diferencial ordinária) de primeira ordem e linear. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Colocar na forma padrão y' + P(t)y = Q(t).
  2. Encontrar o fator integrante mu(t).
  3. Multiplicar tudo por mu(t) e reconhecer o lado esquerdo como derivada de um produto.
  4. Integrar e isolar y.

Passo 2

Primeiro, divide a equação toda por t (assumindo tneq0) para ficar na forma padrão:
dydt + 3t,y = t
Aqui P(t)=tfrac3t e Q(t)=t.

Passo 3

Agora o fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = exp!l(integral P(t),dtr) = exp!l(integral 3t,dtr) = expl(3ln|t|r) = |t|^3
Para simplificar, consideramos t>0 e tomamos mu(t)=t^3.

Passo 4

Multiplica a equação padrão por t^3:
t^3 dydt + 3t^2 y = t^4
Repara que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^3 y, pois
ddtl(t^3 yr) = t^3 dydt + 3t^2 y

Passo 5

Então a equação vira
ddtl(t^3 yr) = t^4
Basta integrar ambos os lados em relação a t:
t^3 y = integral t^4,dt = t^55 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isola y:
y = 1t^3l(t^55 + Cr) = t^25 + C,t^-3

Resposta

A solução geral é
boxedy(t) = t^25 + C,t^-3,
com C constante arbitrária.

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