Obtenha uma solução para o PVI:
6 t y+(3 t^2+6 y) d yd t=-4 t^3, sujeito a y(2)=10

Passo 1

Então, basicamente, a gente tem que resolver esse PVI:
6,t,y ;+;l(3t^2 + 6yr),dydt ;=;-4t^3, y(2)=10
Isso é conteúdo de equação diferencial de 1ª ordem, mais precisamente equação exata. Pra tocar a solução, vamos:
  1. reescrever na forma M(t,y),dt + N(t,y),dy=0,
  2. checar exatidão,
  3. achar a função potencial Psi(t,y),
  4. usar a condição inicial,
  5. isolar y.

Passo 2

Olha só, passa o -4t^3 pro lado esquerdo e multiplica tudo por dt:
6t,y + (3t^2+6y),dydt + 4t^3 = 0 Longrightarrow (6ty + 4t^3),dt;+;(3t^2 + 6y),dy = 0
Daí identificamos
M(t,y) = 6t,y + 4t^3, N(t,y) = 3t^2 + 6y

Passo 3

Pra ver se é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 6t, partial Npartial t = 6t
Como bate certinho, a equação é exata. Isso significa que existe uma função Psi(t,y) tal que
dPsi = M,dt + N,dy

Passo 4

Massa! Agora a gente acha Psi. Primeiro, integra M em relação a t, tratando y como constante:
Psi(t,y) = integrall(6t,y + 4t^3r),dt = 3t^2,y + t^4 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” que pode depender só de y. Em seguida, impomos
partial Psipartial y = 3t^2 + h'(y) ;stackrel!=; N(t,y) = 3t^2 + 6y ;Longrightarrow; h'(y)=6y ;Longrightarrow; h(y)=3y^2
Logo
Psi(t,y) = 3t^2,y + t^4 + 3y^2

Passo 5

A solução geral implícita é Psi(t,y)=C, ou seja
3t^2,y + t^4 + 3y^2 = C
Usando a condição inicial y(2)=10:
3cdot2^2cdot10 + 2^4 + 3cdot10^2 = 120 + 16 + 300 = 436,
daí C=436.

Passo 6

Por fim, a gente isola y. Isso vira uma quadrática:
3y^2 + 3t^2,y + (t^4 - 436) = 0
Aplicando Bhaskara:
y = -3t^2 pm raiz(3t^2)^2 - 4cdot3,(t^4 - 436)2cdot3 = -3t^2 pm raiz5232 - 3t^46
Pra escolher o sinal, impomos y(2)=10:
y(2)=-12 pm 726 ;Longrightarrow; 606=10 (sinal +)
Logo a solução que bate com y(2)=10 é
y(t) = -3t^2 + raiz5232 - 3t^46

Resposta

A solução do PVI é
boxedy(t) = -3t^2 + raiz5232 - 3t^46,
válida enquanto a expressão dentro da raiz for não negativa (i.e.\ 5232 - 3t^4 >= 0) e satisfazendo y(2)=10.

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