Obtenha uma solução para o PVI:
Passo 1
Então, basicamente, a gente tem que resolver esse PVI:
Isso é conteúdo de equação diferencial de 1ª ordem, mais precisamente equação exata. Pra tocar a solução, vamos:
- reescrever na forma
, - checar exatidão,
- achar a função potencial
, - usar a condição inicial,
- isolar
.
Passo 2
Olha só, passa o
pro lado esquerdo e multiplica tudo por
:
Daí identificamos
Passo 3
Pra ver se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como bate certinho, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que
Passo 4
Massa! Agora a gente acha
. Primeiro, integra
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” que pode depender só de
. Em seguida, impomos
Logo
Passo 5
A solução geral implícita é
, ou seja
Usando a condição inicial
:
daí
.
Passo 6
Por fim, a gente isola
. Isso vira uma quadrática:
Aplicando Bhaskara:
Pra escolher o sinal, impomos
:
Logo a solução que bate com
é
Resposta
A solução do PVI é
válida enquanto a expressão dentro da raiz for não negativa (i.e.\
) e satisfazendo
.