Obtenha uma solução geral para:
d^2 yd t^2-2 d yd t+y=e^t sin (t)

Passo 1

E aí, beleza? O problema é resolver a EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes
d^2 yd t^2 - 2 d yd t + y = e^tsin t
Conteúdo: EDOs lineares não-homogêneas de 2ª ordem.
O que precisamos:
  1. Encontrar a solução da parte homogênea (quando o lado direito for zero).
  2. Achar uma solução particular para o lado não-homogêneo (usando método dos coeficientes a determinar).
  3. Somar essas duas para ter a solução geral.

Passo 2

Solução homogênea:
A equação homogênea é
d^2 yd t^2 - 2 d yd t + y = 0
A gente supõe yh=e^rt. Isso leva à equação característica
r^2 - 2r +1 = 0 ;Longrightarrow; (r-1)^2=0 ;Longrightarrow; r=1 (raiz dupla)
Para raiz dupla, a solução é
yh(t)=C1e^t+C2,t,e^t

Passo 3

Solução particular:
Como o lado direito é e^tsin t, usamos método dos coeficientes a determinar. Supomos
yp(t)=e^tl(Acos t + Bsin tr)
A lógica é: quando o RHS é e^alpha t vezes uma função trig, a gente tenta algo parecido.

Passo 4

Calculando derivadas e substituindo:
1)
yp'(t) =ddtl[e^t(Acos t+Bsin t)r] =e^t(Acos t+Bsin t)+e^t(-Asin t+Bcos t) =e^tl[(A+B)cos t+(B-A)sin tr]
yp''(t) =ddtl[e^t[(A+B)cos t+(B-A)sin t]r] =2e^tl[Bcos t - Asin tr]
  1. Substituindo em y''-2y'+y:
yp''-2yp'+yp =e^tl[-Acos t - Bsin tr]
Isso deve dar e^tsin t. Cancelando e^t e igualando:
-,Acos t - Bsin t = sin t ;Longrightarrow; -,A=0;Rightarrow;A=0, -,B=1;Rightarrow;B=-1
Logo
yp(t)=-e^tsin t

Passo 5

Solução geral: somando homogênea e particular,
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1e^t + C2,t,e^t ;-; e^tsin t

Resposta

boxedy(t)=C1e^t+C2,t,e^t-e^tsin t

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