Obtenha uma solução geral da equação diferencial não-homogênea abaixo usando o método da variação dos parâmetros.
d^4 y(t)d t^4-2 cdot d^3 y(t)d t^3=t cdot(t+1) cdot e^2 t

Passo 1

Beleza, a questão é resolver a EDO
y^(4)(t) ;-;2,y^(3)(t);=;t,(t+1),e^2t
usando variação de parâmetros.
Conteúdo: EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes e segundo membro não‐homogêneo do tipo P(t)e^2t.
Precisamos de:
  1. solução geral da parte homogênea;
  2. um conjunto fundamental y1,y2,y3,y4;
  3. a fórmula de variação de parâmetros para ordem 4 (Wronskiano e determinantes);
  4. cálculo de ui'(t), integração para achar ui(t) e montar yp(t).

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
y^(4)-2,y^(3)=0 Longrightarrow r^4-2r^3= r^3(r-2)=0
raízes r=0 (multiplicidade 3) e r=2. Logo
yh(t) = C1,1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^2t

Passo 3

Para variação de parâmetros, a gente assume
yp(t) = u1(t),y1(t) +u2(t),y2(t) +u3(t),y3(t) +u4(t),y4(t),
com y1=1,;y2=t,;y3=t^2,;y4=e^2t, e impõe o sistema
u1'y1+u2'y2+u3'y3+u4'y4=0, u1'y1'+u2'y2'+u3'y3'+u4'y4'=0, u1'y1''+u2'y2''+u3'y3''+u4'y4''=0, u1'y1'''+u2'y2'''+u3'y3'''+u4'y4'''=t(t+1)e^2t

Passo 4

O Wronskiano é
W(t) =det 1 & t & t^2 & e^2t 0 & 1 & 2t &2e^2t 0 & 0 & 2 &4e^2t 0 & 0 & 0 &8e^2t =1cdot1cdot2cdot8e^2t =16,e^2t

Passo 5

Calculando os 4 determinantes (substituindo colunas e usando a fórmula ;uk'=(-1)^k+1det MkW) obtemos:
u1'(t)&=-t(t+1),(4t^2-4t+2),e^2t16, u2'(t)&=-t(t+1),e^2t4, u3'(t)&=-t(t+1),e^2t4, u4'(t)&= t(t+1)8

Passo 6

Agora integra-se cada uk'(t) (integração por partes repetida, colhendo constantes que vão para a solução homogênea). O resultado final é
u1(t)&=e^2tl(-tfract^48+tfract^34-tfrac5t^216+tfrac3t16-tfrac332r), u2(t)&=-tfract^2,e^2t8, u3(t)=-tfract^2,e^2t8, u4(t)&=tfract^324+tfract^216

Passo 7

Finalmente
yp(t) =u1cdot1+u2cdot t+u3cdot t^2+u4cdot e^2t =e^2tl(-tfract^44+tfract^36-tfract^24+tfrac3t16-tfrac332r)

Resposta

A solução geral fica
fbox $y(t)=C1 + C2,t + C3,t^2 + C4,e^2t ;+; e^2tl(-tfract^44+tfract^36-tfract^24+tfrac3t16-tfrac332r), $

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