Obtenha uma solução geral da equação diferencial não-homogênea abaixo usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, a questão é resolver a EDO
usando variação de parâmetros.
Conteúdo: EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes e segundo membro não‐homogêneo do tipo .
Precisamos de:
Conteúdo: EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes e segundo membro não‐homogêneo do tipo
Precisamos de:
- solução geral da parte homogênea;
- um conjunto fundamental
; - a fórmula de variação de parâmetros para ordem 4 (Wronskiano e determinantes);
- cálculo de
, integração para achar e montar .
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea é
raízes
(multiplicidade 3) e
. Logo
Passo 3
Para variação de parâmetros, a gente assume
com
, e impõe o sistema
Passo 4
O Wronskiano é
Passo 5
Calculando os
4 determinantes (substituindo colunas e usando a fórmula
;uk'=(-1)^k+1det MkW ) obtemos:
Passo 6
Agora integra-se cada
uk'(t) (integração por partes repetida, colhendo constantes que vão para a solução homogênea). O resultado final é
Passo 7
Finalmente
Resposta
A solução geral fica