Exercício 9 Considere o seguinte subespaço de \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) :
W=\left\{\left[\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right] ; x-y-z=0\right\}
(a) Mostre que os conjuntos
A=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
e
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
são bases de W.
(b) Obtenha [S]_{A \rightarrow B} e [S]_{B \rightarrow A}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=\Bigl\{\begin{pmatrix}x&y\z&t\end{pmatrix}\in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) : x - y - z = 0\Bigr\}
daí \dim W = 4 - 1 = 3.
Precisamos (a) mostrar que
A=\Bigl\{\;a_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;a_2=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;a_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}
e
B=\Bigl\{\;b_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;b_2=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\;b_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}
são bases de W, e (b) encontrar as matrizes de mudança de base [S]_{A\to B} e [S]_{B\to A}.

Passo 2

(a) Primeiro verificamos que todos os vetores em A e em B satisfazem x-y-z=0, logo A,B\subset W. Cada conjunto tem 3 vetores, então basta mostrar independência linear.
  • Em A, suponha
c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 = 0.
Somando as matrizes:
c_1\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +c_3\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c_1+c_2 & c_1 \\\ c_2 & c_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Daí c_1+c_2=0, c_1=0, c_2=0, c_3=0. Logo A é independente e, como tem 3 vetores em espaço de dimensão 3, é base.
  • Em B, suponha
d_1b_1 + d_2b_2 + d_3b_3 = 0.
Fazendo a soma:
d_1\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} +d_2\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} +d_3\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}d_1 & -d_2 \\\ d_1+d_2 & d_3\end{pmatrix} =0,
vem d_1=0, -d_2=0 \Rightarrow d_2=0, d_3=0. Logo B é independente e, tendo 3 vetores, também base de W.

Passo 3

(b) Para achar [S]_{A\to B}, expressamos cada a_i como combinação linear de b_1,b_2,b_3:
  1. a_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix}=c_1b_1+c_2b_2+c_3b_3 leva ao sistema
    \bigl[c_1,\,-c_2;\,c_1+c_2,\,c_3\bigr]=[1,1;0,0],
    cujo (c_1,c_2,c_3)=(1,-1,0).
  2. a_2=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} (c_1,c_2,c_3)=(1,0,0).
  3. a_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} é exatamente b_3, logo (0,0,1).
    Assim
[S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
colunas sendo [a_1]_B,[a_2]_B,[a_3]_B.
Para [S]_{B\to A}, expressamos cada b_j em A:
  1. b_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}=d_1a_1+d_2a_2+d_3a_3 (d_1,d_2,d_3)=(0,1,0).
  2. b_2=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} (d_1,d_2,d_3)=(-1,1,0).
  3. b_3=a_3 (0,0,1).
    Logo
[S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[a)] Ambos A e B têm 3 vetores em W de dimensão 3, são independentes e geram W, logo são bases.
[b)]
[S]_{A\to B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad [S]_{B\to A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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