Prove o seguinte:
(a)
ponto) Se
, então
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um anel (por exemplo, matrizes) em que
e
comutam, ou seja,
vale para todo inteiro
a igualdade
O método mais natural aqui é a indução matemática sobre
, usando a hipótese de comutação para trocar fatores quando necessário.
Passo 2
Base da indução
. Nesse caso
e
logo
. A base está verificada.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
já valha
Vamos mostrar que então
Passo 4
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução substituímos
:
Agora usamos a comutação
repetidamente para “passar” o
à esquerda de
. Primeiro,
Portanto,
Isso mostra o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução, sempre que
e
comutam temos
para todo inteiro
.