Prove o seguinte:
(a) \left(1,0\right. ponto) Se A B=B A, então (A B)^{k}=A^{k} B^{k}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um anel (por exemplo, matrizes) em que A e B comutam, ou seja,
A B = B A,
vale para todo inteiro k\ge1 a igualdade
(AB)^{k} = A^{k} B^{k}.
O método mais natural aqui é a indução matemática sobre k, usando a hipótese de comutação para trocar fatores quando necessário.

Passo 2

Base da indução k=1. Nesse caso
(AB)^{1} = AB
e
A^{1} B^{1} = AB,
logo (AB)^{1} = A^{1}B^{1}. A base está verificada.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para algum n\ge1 já valha
(AB)^{n} = A^{n}B^{n}.
Vamos mostrar que então
(AB)^{n+1} = A^{n+1}B^{n+1}.

Passo 4

Começamos escrevendo
(AB)^{n+1} = (AB)^{n}\,(AB).
Pela hipótese de indução substituímos (AB)^{n} = A^{n}B^{n}:
(AB)^{n+1} = A^{n}B^{n}\,A\,B.
Agora usamos a comutação B A = A B repetidamente para “passar” o A à esquerda de B^{n}. Primeiro,
B^{n}A = B^{n-1}(B A) = B^{n-1}(A B) = A\,B^{n}.
Portanto,
A^{n}B^{n}A\,B = A^{n}\bigl(A\,B^{n}\bigr)B = A^{n+1}B^{n+1}.
Isso mostra o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, sempre que A e B comutam temos
(AB)^{k} = A^{k}B^{k}
para todo inteiro k\ge1.

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