Exercício 0.2. Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right). Mostre que A tem dois autovalores distintos. Depois encontre dois autovetores correspondentes aos autovalores distintos. Essa matriz é diagonalizável ou não?
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para mostrar que ela tem dois autovalores distintos, encontrar um autovetor para cada um e decidir se A é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é o cálculo do polinômio característico e a resolução de (A-\lambda I)x=0.
Da primeira linha vem 2x_1+2x_2=0, ou seja, x_1=-x_2. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Como A é uma matriz 2\times2 com dois autovalores distintos, os autovetores v_1 e v_2 são linearmente independentes. Portanto, A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Resposta
Os autovalores são \lambda_1=3 e \lambda_2=-1.
Um autovetor para \lambda_1 é v_1=(1,1)^\mathsf{T} e para \lambda_2 é v_2=(1,-1)^\mathsf{T}.
Como há dois autovalores distintos com autovetores independentes, A é diagonalizável.