Exercício 0.2. Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right). Mostre que A tem dois autovalores distintos. Depois encontre dois autovetores correspondentes aos autovalores distintos. Essa matriz é diagonalizável ou não?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para mostrar que ela tem dois autovalores distintos, encontrar um autovetor para cada um e decidir se A é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é o cálculo do polinômio característico e a resolução de (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[0.3em]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2-2\cdot2.
Expandindo,
p(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-3.]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
\lambda^2-2\lambda-3=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2} =\frac{2\pm4}{2},
logo
\lambda_1=3 \quad\text{e}\quad \lambda_2=-1.
Como são dois valores distintos, já garantimos dois autovalores distintos.

Passo 4

Agora encontramos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda_1=3, resolvemos
(A-3I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[0.3em]2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem -2x_1+2x_2=0, ou seja, x_1=x_2. Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1, resolvemos
(A+I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2 & 2 \\[0.3em]2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem 2x_1+2x_2=0, ou seja, x_1=-x_2. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como A é uma matriz 2\times2 com dois autovalores distintos, os autovetores v_1 e v_2 são linearmente independentes. Portanto, A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Resposta

Os autovalores são \lambda_1=3 e \lambda_2=-1.
Um autovetor para \lambda_1 é v_1=(1,1)^\mathsf{T} e para \lambda_2 é v_2=(1,-1)^\mathsf{T}.
Como há dois autovalores distintos com autovetores independentes, A é diagonalizável.

Exercícios relacionados