Exercício 0.3. Diga quais afirmações são corretas e quais são falsas. Seja V um espaço vetorial real e T: V \rightarrow V uma transformação linear.
a) Toda matriz com 2 linhas e 2 colunas é diagonalizável.
b) Se v \neq 0_{V} é um vetor do núcleo de T então v é um autovetor de T.
c) Se T(v)=0_{V} para todo v \in V então T é diagonalizável.
d) Existe uma T.L. T: V \rightarrow V tal que \operatorname{dim}(V)=4, \operatorname{dim}(N u c(T))=3 e \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=2.
Passo 1
O enunciado pede para julgar a veracidade de quatro afirmações sobre uma transformação linear T:V\to V num espaço vetorial real V. Vamos usar conceitos de autovalor, autovetor, diagonalização e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Analisando (a): “Toda matriz com 2 linhas e 2 colunas é diagonalizável.”
Nem toda matriz 2\times2 é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Por exemplo, a matriz de rotação
R = \begin{pmatrix}0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
não tem autovalores reais, logo não existe base real de autovetores. Concluímos que (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se v\neq0_V é um vetor do núcleo de T então v é um autovetor de T.”
Se v\in\ker(T), então T(v)=0_V. Mas isso equivale a
T(v)=0\cdot v,
logo v é autovetor associado ao autovalor \lambda=0. Assim, (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): “Se T(v)=0_V para todo v\in V então T é diagonalizável.”
Essa condição diz que T é a transformação zero. O único autovalor é 0, com multiplicidade algébrica \dim(V) e multiplicidade geométrica também \dim(V). Logo existe uma base de V formada por autovetores, e a matriz de T nessa base é a matriz nula (diagonal de zeros). Portanto, (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): “Existe T\colon V\to V com \dim(V)=4, \dim(\ker(T))=3 e \dim(\Im(T))=2.”
O teorema do posto-nulidade afirma
\dim(\ker(T)) + \dim(\Im(T)) = \dim(V).
Aqui daria 3 + 2 = 5\neq4, o que é impossível. Logo, (d) é falsa.