Exercício 0.4. Seja \mathcal{P}_{2}=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}\right., onde \left.a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\}.
Considere a transformação linear derivada D: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{2},
D\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}\right)=a_{1}+2 a_{2} x
Considere a base ordenada \alpha=\left\{2,2 x, x^{2}\right\} de \mathcal{P}_{2}.
Calcule a matriz [D]_{\alpha}^{\alpha} e determine se a derivada é uma transformação diagonalizável ou não.

Passo 1

O espaço \mathcal{P}_{2} é o das polinômios de grau <=2, com base ordenada \alpha=\{2,2x,x^2\}. A transformação D é a derivada, ou seja
D(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}) = a_{1} + 2a_{2}\,x.
Precisamos achar a matriz de D na base \alpha e verificar se ela é diagonalizável.

Passo 2

Aplicamos D ao primeiro vetor da base, 2:
D(2) = 0.
Como o zero se escreve (0,0,0)_{\alpha}, a primeira coluna da matriz será \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos D ao segundo vetor da base, 2x:
D(2x) = 2 = 1\cdot 2 + 0\cdot(2x) + 0\cdot x^{2}.
Logo as coordenadas são (1,0,0)_{\alpha} e a segunda coluna da matriz é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicamos D ao terceiro vetor da base, x^2:
D(x^2) = 2x = 0\cdot 2 + 1\cdot(2x) + 0\cdot x^{2}.
As coordenadas são (0,1,0)_{\alpha} e a terceira coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Juntando as colunas, a matriz de D em \alpha é
[D]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Essa matriz é nilpotente (toda sua única raiz característica é \lambda=0 de multiplicidade algébrica 3), mas o espaço próprio \ker\bigl([D]_{\alpha}^{\alpha}\bigr) tem dimensão 1 (apenas constantes). Como a geometricidade (1) é menor que a algebraicidade (3), não existe base que a diagonalize.

Resposta

[D]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
a transformação derivada não é diagonalizável.

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