Exercício 0.4. Seja
, onde
.
Considere a transformação linear derivada
,
Considere a base ordenada
de
.
Calcule a matriz
e determine se a derivada é uma transformação diagonalizável ou não.
Considere a transformação linear derivada
Passo 1
O espaço
é o das polinômios de grau
, com base ordenada
. A transformação
é a derivada, ou seja
Precisamos achar a matriz de
na base
e verificar se ela é diagonalizável.
Passo 2
Aplicamos
ao primeiro vetor da base,
:
Como o zero se escreve
, a primeira coluna da matriz será
.
Passo 3
Aplicamos
ao segundo vetor da base,
:
Logo as coordenadas são
e a segunda coluna da matriz é
.
Passo 4
Aplicamos
ao terceiro vetor da base,
:
As coordenadas são
e a terceira coluna é
.
Passo 5
Juntando as colunas, a matriz de
em
é
Passo 6
Essa matriz é nilpotente (toda sua única raiz característica é
de multiplicidade algébrica 3), mas o espaço próprio
tem dimensão 1 (apenas constantes). Como a geometricidade (1) é menor que a algebraicidade (3), não existe base que a diagonalize.
Resposta
a transformação derivada não é diagonalizável.