Exercício 0.1. Considere a transformação linear T: \mathcal{M}_{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=a+b+c+d
Calcule a dimensão do Núcleo da T. Calcule a dimensão da Imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:\mathcal{M}_{2\times2}\to\mathbb{R},\qquad T\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr)=a+b+c+d.
Queremos \dim\ker T e \dim\mathrm{Im}\,T. Vamos usar as definições de núcleo (kernel), imagem e o teorema do posto e da nulidade.

Passo 2

Para achar \ker T, exigimos
T\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr)=a+b+c+d=0.
Isso é uma única equação linear em quatro incógnitas a,b,c,d. Assim há três graus de liberdade, logo
\dim\ker T=3.

Passo 3

Para achar \mathrm{Im}\,T, notamos que T não é a aplicação zero (por exemplo
T\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\\ 0&0\end{smallmatrix}\bigr)=1\neq0).
Como \mathbb{R} é de dimensão 1 e T é não-nula, sua imagem é todo \mathbb{R}. Portanto
\dim\mathrm{Im}\,T=1.

Resposta

\dim\ker T=3 \dim\mathrm{Im}\,T=1

Exercícios relacionados