Exercício 6. Considere a matriz A=(lll1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 1 & 1 & 3). Encontre uma matriz B, 3 times 3, tal que A B=0, mas B A neq 0. Dica: comece encontrando uma matriz coluna X=(lx y z) tal que A X=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 1 & 1 & 3
e pede uma matriz B de ordem 3times3 tal que
A,B = 0 mas B,A neq 0
Vamos usar o fato de que, se cada coluna de B estiver no núcleo (nulidade) de A, então A,B=0. Depois verificamos que B,A não é nula.

Passo 2

Encontrar
é resolver o sistema
Da segunda equação vem . Logo o núcleo de é gerado pelo vetor

Passo 3

Para garantir A,B=0, basta que cada coluna de B seja múltiplo de v. A escolha mais simples é tomar apenas a primeira coluna igual a v e as outras duas colunas nulas. Assim definimos
B = -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0

Passo 4

Verificamos que
A,B = l[A,v,;A,0,;A,0r] = l[0,0,0r] = 0,
pois v está no núcleo de A.
Agora calculamos
B,A = l[B,(1,0,1)^T,;B,(0,1,1)^T,;B,(3,0,3)^Tr]
Em particular, para a primeira coluna de A temos
B101 =1cdot-301 neq 000,
logo B,A não é a matriz nula.

Resposta

B = -3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 ,
pois com esta escolha A,B=0 mas B,Aneq0.

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