Exercício 3. Encontre uma matriz de tipo tal que mas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma matriz de tamanho tal que mas . Esse problema está relacionado ao estudo de matrizes nilpotentes na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e aplicar conceitos de matrizes nilpotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz é chamada de nilpotente se existe um número inteiro tal que , onde é a matriz zero. No nosso caso, queremos que mas que não seja a matriz zero. Isso significa que a matriz tem um índice de nilpotência igual a 3.
Passo 3
Para construir uma matriz nilpotente de índice 3, podemos usar a forma de Jordan para matrizes nilpotentes. A forma de Jordan para uma matriz nilpotente de tamanho com índice de nilpotência 3 é dada por:
Passo 4
Vamos verificar se essa matriz satisfaz as condições do exercício. Primeiro, calculamos A^2 :