Exercício 3. Encontre uma matriz A de tipo 3 times 3 tal que A^2 neq 0 mas A^3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma matriz A de tamanho 3 times 3 tal que A^2 neq 0 mas A^3 = 0 . Esse problema está relacionado ao estudo de matrizes nilpotentes na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e aplicar conceitos de matrizes nilpotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz A é chamada de nilpotente se existe um número inteiro k tal que A^k = 0 , onde 0 é a matriz zero. No nosso caso, queremos que A^3 = 0 mas que A^2 não seja a matriz zero. Isso significa que a matriz A tem um índice de nilpotência igual a 3.

Passo 3

Para construir uma matriz nilpotente de índice 3, podemos usar a forma de Jordan para matrizes nilpotentes. A forma de Jordan para uma matriz nilpotente de tamanho 3 times 3 com índice de nilpotência 3 é dada por:
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

Passo 4

Vamos verificar se essa matriz satisfaz as condições do exercício. Primeiro, calculamos A^2 :
A^2 = A cdot A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 cdot 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Como A^2 não é a matriz zero, a primeira condição A^2 neq 0 está satisfeita.

Passo 5

Agora, calculamos A^3 :
A^3 = A^2 cdot A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 cdot 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Aqui, A^3 resulta na matriz zero, então a segunda condição A^3 = 0 também está satisfeita.

Resposta

Uma matriz que satisfaz as condições é:
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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