Exercício 8. Determine quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida.
(ccccc1 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 1 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 1 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0
está em forma escalonada reduzida (RREF). Vamos usar os critérios de RREF para concluir.

Passo 2

Lembremos os critérios de forma escalonada reduzida:
  1. Cada linha não nula tem pivô igual a !1.
  2. Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (zeros acima e abaixo).
  3. As linhas nulas (se houver) ficam abaixo das não nulas.
  4. Os pivôs vão “andando para a direita” à medida que descemos as linhas.

Passo 3

Identificamos os pivôs em A:
  • Linha 1: primeiro não nulo em coluna 1, pivô em (1,1).
  • Linha 2: primeiro não nulo em coluna 2, pivô em (2,2).
  • Linha 3: primeiro não nulo em coluna 4, pivô em (3,4).
Todos são iguais a !1 e as linhas nulas estão ao final (não há linhas completamente nulas), então os critérios 1 e 3 estão ok.

Passo 4

Verificamos o critério 2 (zeros acima e abaixo de cada pivô):
  • Coluna 1: zeros abaixo do pivô em (1,1).
  • Coluna 2: zeros acima em (1,2) e abaixo em (3,2).
  • Coluna 4: abaixo do pivô em (3,4) não há linhas, mas acima em (1,4) temos o valor 1neq0.
Como na coluna 4 há um 1 acima do pivô, o critério de zeros em toda a coluna falha.

Passo 5

Portanto, embora A esteja em forma escalonada (echelon form), ela não satisfaz o requisito de ter zeros em todas as outras posições das colunas de pivô. Logo, não está em forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada reduzida.

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