Exercício 4. Encontre condições sobre e d para que valha a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes 2x2 e precisa descobrir quais valores de a, b, c e d fazem com que a multiplicação das duas matrizes seja igual, independente da ordem. Ou seja, queremos que:
a & b c & d cdot 0 & 1 -1 & 0 = 0 & 1 -1 & 0 cdot a & b c & d
Para resolver isso, vamos multiplicar as matrizes em ambas as ordens e comparar os resultados. Vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes!
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar a matriz da esquerda pela da direita:
a & b c & d cdot 0 & 1 -1 & 0
Lembrando que para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pelas colunas da segunda. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Elemento (1,1):a cdot 0 + b cdot (-1) = -b
Elemento (1,2):a cdot 1 + b cdot 0 = a
Elemento (2,1):c cdot 0 + d cdot (-1) = -d
Elemento (2,2):c cdot 1 + d cdot 0 = c
Então, a multiplicação fica:
-b & a -d & c
Passo 3
Agora, vamos multiplicar na ordem inversa:
0 & 1 -1 & 0 cdot a & b c & d
Novamente, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda:
Elemento (1,1):0 cdot a + 1 cdot c = c
Elemento (1,2):0 cdot b + 1 cdot d = d
Elemento (2,1):-1 cdot a + 0 cdot c = -a
Elemento (2,2):-1 cdot b + 0 cdot d = -b
Então, a multiplicação fica:
c & d -a & -b
Passo 4
Agora, queremos que as duas matrizes resultantes sejam iguais. Ou seja:
-b & a -d & c = c & d -a & -b
Isso significa que cada elemento correspondente deve ser igual. Vamos igualar os elementos de cada posição:
Elemento (1,1):-b = c
Elemento (1,2):a = d
Elemento (2,1):-d = -a
Elemento (2,2):c = -b
Passo 5
Vamos analisar as equações que encontramos:
-b = c
a = d
-d = -a
c = -b
Observamos que as equações 1 e 4 são a mesma informação (c = -b). A equação 3, -d = -a, simplifica para d = a, que já temos na equação 2. Então, basicamente, temos duas condições principais:
c = -b
d = a
Resposta
Para que a igualdade das matrizes seja válida, os parâmetros devem satisfazer: