Exercício 4. Encontre condições sobre a, b, c e d para que valha a igualdade
(ll a & b c & d ) cdot(cc 0 & 1 -1 & 0 )=(cc 0 & 1 -1 & 0 ) cdot(ll a & b c & d )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes 2x2 e precisa descobrir quais valores de a, b, c e d fazem com que a multiplicação das duas matrizes seja igual, independente da ordem. Ou seja, queremos que:
a & b c & d cdot 0 & 1 -1 & 0 = 0 & 1 -1 & 0 cdot a & b c & d
Para resolver isso, vamos multiplicar as matrizes em ambas as ordens e comparar os resultados. Vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes!

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a matriz da esquerda pela da direita:
a & b c & d cdot 0 & 1 -1 & 0
Lembrando que para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pelas colunas da segunda. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1): a cdot 0 + b cdot (-1) = -b
  • Elemento (1,2): a cdot 1 + b cdot 0 = a
  • Elemento (2,1): c cdot 0 + d cdot (-1) = -d
  • Elemento (2,2): c cdot 1 + d cdot 0 = c
Então, a multiplicação fica:
-b & a -d & c

Passo 3

Agora, vamos multiplicar na ordem inversa:
0 & 1 -1 & 0 cdot a & b c & d
Novamente, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda:
  • Elemento (1,1): 0 cdot a + 1 cdot c = c
  • Elemento (1,2): 0 cdot b + 1 cdot d = d
  • Elemento (2,1): -1 cdot a + 0 cdot c = -a
  • Elemento (2,2): -1 cdot b + 0 cdot d = -b
Então, a multiplicação fica:
c & d -a & -b

Passo 4

Agora, queremos que as duas matrizes resultantes sejam iguais. Ou seja:
-b & a -d & c = c & d -a & -b
Isso significa que cada elemento correspondente deve ser igual. Vamos igualar os elementos de cada posição:
  1. Elemento (1,1): -b = c
  2. Elemento (1,2): a = d
  3. Elemento (2,1): -d = -a
  4. Elemento (2,2): c = -b

Passo 5

Vamos analisar as equações que encontramos:
  1. -b = c
  2. a = d
  3. -d = -a
  4. c = -b
Observamos que as equações 1 e 4 são a mesma informação ( c = -b). A equação 3, -d = -a, simplifica para d = a, que já temos na equação 2. Então, basicamente, temos duas condições principais:
  • c = -b
  • d = a

Resposta

Para que a igualdade das matrizes seja válida, os parâmetros devem satisfazer:
c = -b e d = a

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