Exercício 3 - Seja \pi o plano que passa pelo ponto P_{0}=(-4,-1,6) e é normal ao vetor \vec{N}=(2,-1,1).
(a) Determine a equação geral do plano \pi.
(b) Determine a equação vetorial e as equações paramétricas do plano \pi.
Passo 1
O enunciado nos dá um plano \pi que passa por P_{0}=(-4,-1,6) e é normal ao vetor \vec N=(2,-1,1). O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar a forma geral do plano pela condição de ortogonalidade com a normal para (a) e depois expressar em forma vetorial e paramétrica para (b).
Passo 2
Usamos que um ponto genérico X=(x,y,z) está em \pi se e só se
\vec N\cdot (X-P_{0})=0.
Substituindo,
(2,-1,1)\cdot(x+4,\;y+1,\;z-6)=0
2(x+4)-1(y+1)+1(z-6)=0
2x+8 -y-1 +z-6=0
2x - y + z +1 =0.
Passo 3
Para escrever a forma vetorial escolhemos dois vetores diretores \vec v_1,\vec v_2 ortogonais a \vec N. Da condição
2a - b + c = 0
podemos tomar, por exemplo:
para a=1,b=0 vem c=-2, logo \vec v_1=(1,0,-2);
para a=0,b=1 vem c=1, logo \vec v_2=(0,1,1).
Assim a equação vetorial é
\boldsymbol r = (-4,-1,6) + s\,(1,0,-2) + t\,(0,1,1).
Passo 4
Separando as componentes da equação vetorial obtemos as paramétricas:
\begin{cases} x = -4 + s,\\\ y = -1 + t,\\\ z = 6 - 2s + t. \end{cases}
Resposta
(a) 2x - y + z + 1 = 0.
(b) Equação vetorial: \displaystyle \boldsymbol r =(-4,-1,6)+s\,(1,0,-2)+t\,(0,1,1).
Equações paramétricas: \;x=-4+s,\;\;y=-1+t,\;\;z=6-2s+t.