• Exercício 1: Considere um processo gaussiano \{X(t)\}_{t \in \mathbb{R}} com média nula e função de autocovariância
C_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=9 e^{-\alpha\left|t_{1}-t_{2}\right|}, \quad \alpha>0 .
(a) Mostre que X(t) é WSS e SSS.
(b) Determine a PDF conjunta de X(1) e X(2).
(c) Interprete qualitativamente o papel do parâmetro \alpha na “memória” do processo.
(d) O processo \{Y(t)=X(t)-X(t+1)\} é gaussiano? Determine as funções média e autocorrelação de \{Y(t)\}.

Passo 1

O enunciado define um processo gaussiano \{X(t)\} de média nula e autocovariância
C_X(t_1,t_2)=9\,e^{-\alpha|t_1-t_2|},\quad \alpha>0.
Precisamos mostrar que ele é WSS e SSS, obter a PDF conjunta de \bigl(X(1),X(2)\bigr), discutir o papel de \alpha na “memória” e estudar o processo Y(t)=X(t)-X(t+1).

Passo 2

Para (a), note que \mathbb E[X(t)]=0 é constante e
C_X(t_1,t_2)=9\,e^{-\alpha|t_1-t_2|}
depende apenas de \tau=t_1-t_2. Logo \{X(t)\} é WSS. Além disso, sendo gaussiano e WSS, todas as distribuições finitas só dependem dos deslocamentos temporais, isto é, é também SSS.

Passo 3

Para (b), o vetor \bigl(X(1),X(2)\bigr) é bidimensional gaussiano de média zero e matriz de covariância
\Sigma=\begin{pmatrix} \Cov[X(1),X(1)] & \Cov[X(1),X(2)]\\\ \Cov[X(2),X(1)] & \Cov[X(2),X(2)] \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 & 9e^{-\alpha}\\\\ 9e^{-\alpha} & 9 \end{pmatrix}.
Temos \det\Sigma=81\bigl(1-e^{-2\alpha}\bigr) e
\Sigma^{-1}=\frac1{81(1-e^{-2\alpha})} \begin{pmatrix} 9 & -9e^{-\alpha}\\\\ -9e^{-\alpha} & 9 \end{pmatrix}.
Assim, a PDF conjunta é
f_{X(1),X(2)}(x_1,x_2) =\frac{1}{2\pi\sqrt{\det\Sigma}} \exp\Bigl\{-\tfrac12\,(x_1,x_2)\,\Sigma^{-1}\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 4

Para (c), \alpha controla a rapidez do decaimento da autocovariância com o lag:
  • Se \alpha é grande, e^{-\alpha|\tau|} cai rápido e o processo “esquece” seu passado depressa (memória curta).
  • Se \alpha é pequeno, a correlação persiste por mais tempo (memória longa).

Passo 5

Para (d), Y(t)=X(t)-X(t+1) é combinação linear de variáveis gaussianas, logo também gaussiano. A média é
\mathbb E[Y(t)] =\mathbb E[X(t)]-\mathbb E[X(t+1)]=0.

Passo 6

Ainda em (d), a autocovariância de Y é
C_Y(t_1,t_2) =\Cov\bigl(X(t_1)-X(t_1+1),\,X(t_2)-X(t_2+1)\bigr)
=9\bigl[e^{-\alpha|t_1-t_2|}-e^{-\alpha|t_1-t_2+1|} -e^{-\alpha|t_1-t_2-1|}+e^{-\alpha|t_1-t_2|}\bigr]
=9\bigl[2e^{-\alpha|\tau|}-e^{-\alpha|\tau+1|}-e^{-\alpha|\tau-1|}\bigr],
com \tau=t_1-t_2. Isso fornece também a função de autocorrelação de Y.

Resposta

(a) \{X(t)\} tem média constante zero e C_X(t_1,t_2)=9e^{-\alpha|t_1-t_2|} depende só do lag, logo é WSS; como é gaussiano e WSS, é também SSS.
(b) \bigl(X(1),X(2)\bigr)\sim\mathcal N\bigl(0,\Sigma\bigr) com \Sigma=\begin{pmatrix}9&9e^{-\alpha}\\\ 9e^{-\alpha}&9\end{pmatrix}.
A PDF é
f(x_1,x_2) =\frac{1}{2\pi\sqrt{81(1-e^{-2\alpha})}} \exp\!\Bigl\{-\tfrac1{2}(x_1,x_2)\,\Sigma^{-1}\!\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}\Bigr\}.
(c) \alpha controla a taxa de decaimento da autocovariância: maior \alpha significa memória mais curta; menor \alpha, memória mais longa.
(d) Y(t) é gaussiano, \mathbb E[Y(t)]=0 e
C_Y(\tau)=9\bigl[2e^{-\alpha|\tau|}-e^{-\alpha|\tau+1|}-e^{-\alpha|\tau-1|}\bigr].

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