(a) Mostre que X(t) é WSS e SSS.
(b) Determine a PDF conjunta de X(1) e X(2).
(c) Interprete qualitativamente o papel do parâmetro \alpha na “memória” do processo.
(d) O processo \{Y(t)=X(t)-X(t+1)\} é gaussiano? Determine as funções média e autocorrelação de \{Y(t)\}.
Passo 1
O enunciado define um processo gaussiano \{X(t)\} de média nula e autocovariância
Precisamos mostrar que ele é WSS e SSS, obter a PDF conjunta de \bigl(X(1),X(2)\bigr), discutir o papel de \alpha na “memória” e estudar o processo Y(t)=X(t)-X(t+1).
Passo 2
Para (a), note que \mathbb E[X(t)]=0 é constante e
C_X(t_1,t_2)=9\,e^{-\alpha|t_1-t_2|}
depende apenas de \tau=t_1-t_2. Logo \{X(t)\} é WSS. Além disso, sendo gaussiano e WSS, todas as distribuições finitas só dependem dos deslocamentos temporais, isto é, é também SSS.
Passo 3
Para (b), o vetor \bigl(X(1),X(2)\bigr) é bidimensional gaussiano de média zero e matriz de covariância