• Exercício 2: O processo estocástico {X(t)}\}_{t \in \mathbb{R}} é gaussiano e estacionário, com média nula e função de autocorrelação R(\tau)=4 e^{-2|\tau|}, \tau \in \mathbb{R}. Determine
    \mathbb{P}(2 X(t)-X(t-1) \leq 3)

Passo 1

O enunciado dá um processo gaussiano estacionário de média zero, com função de autocorrelação
R(\tau)=4e^{-2|\tau|}\,.
Queremos calcular \mathbb{P}(2X(t)-X(t-1)\le3).
Como combinação linear de gaussianas é gaussiana, basta achar a distribuição de
Y = 2X(t) - X(t-1)
e então usar a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, a esperança de Y é
\mathbb{E}[Y] = 2\,\mathbb{E}[X(t)] - \mathbb{E}[X(t-1)] = 0 - 0 = 0\,.

Passo 3

Em seguida, a variância de Y é
\Var(Y) =\mathbb{E}\bigl[(2X(t)-X(t-1))^2\bigr] =4\,\mathbb{E}[X(t)^2]+1\,\mathbb{E}[X(t-1)^2]-4\,\mathbb{E}[X(t)X(t-1)].
Como \mathbb{E}[X(t)^2]=R(0)=4 e \mathbb{E}[X(t)X(t-1)]=R(1)=4e^{-2}, temos
\Var(Y) =4\cdot4 + 1\cdot4 - 4\cdot(4e^{-2}) =20 - 16e^{-2}\,.

Passo 4

Logo
Y \sim N\bigl(0,\;20 - 16e^{-2}\bigr),
e
\mathbb{P}(Y\le3) =\Phi\!\Bigl(\frac{3}{\sqrt{20 - 16e^{-2}}}\Bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Resposta

\displaystyle \Phi\!\Bigl(\frac{3}{\sqrt{20 - 16e^{-2}}}\Bigr)

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