• Exercício 2: O processo estocástico {X(t)}\}_{t \in \mathbb{R}} é gaussiano e estacionário, com média nula e função de autocorrelação R(\tau)=4 e^{-2|\tau|}, \tau \in \mathbb{R}. Determine
    \mathbb{P}(X(t) \leq 3)

Passo 1

O enunciado diz que \{X(t)\}_{t\in\mathbb{R}} é um processo gaussiano e estacionário, com média nula e função de autocorrelação
R(\tau)=4e^{-2|\tau|}.
Como o processo é estacionário, a distribuição marginal de X(t) independe de t e é normal de média zero e variância \sigma^2=R(0). Precisamos usar isso para calcular \mathbb{P}(X(t)\le3).

Passo 2

O valor de R(0) dá a variância do processo em cada instante:
\sigma^2 = R(0) = 4e^{-2\cdot0} = 4.
Logo
X(t)\sim N(0,4),
isto é, X(t) é normal com média 0 e desvio padrão \sigma=2.

Passo 3

Para calcular \mathbb{P}(X(t)\le3), padronizamos X(t). Se definirmos
Z = \frac{X(t)-0}{2},
então Z\sim N(0,1) e
\mathbb{P}(X(t)\le3) =\mathbb{P}\Bigl(Z \le \frac{3}{2}\Bigr) =\Phi\bigl(1{,}5\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.

Resposta

\mathbb{P}(X(t)\le3)=\Phi\bigl(1{,}5\bigr)\approx0{,}9332.

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