Exercício 6 Considere em R^3 as bases l v1=u1+u3 v2=u1-u2 v3=u2-u3 e [S]A, B tais que
Obtenha .

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de A para B em R^3, ou seja, [S]_{A,B} para a transformação identidade S=Id. Vamos precisar expressar cada vetor uj da base A em coordenadas da base B.

Passo 2

Sabendo que as colunas de [S]_{A,B} são justamente as coordenadas de u1,u2,u3 na base B, precisamos escrever uj=alpha1jv1+alpha2jv2+alpha3jv3 e coletar os alphaij.

Passo 3

Temos as relações em bloco:
v1=u1+u3 v2=u1-u2 v3=u2-u3
Para inverter, expressamos u1,u2,u3 em função de v1,v2,v3.

Passo 4

Da segunda equação vem u2=u1-v2 e da primeira u3=v1-u1. Substituindo na terceira:
v3=u2-u3=(u1-v2)-(v1-u1)=2u1-(v1+v2)
Logo u1=(v1+v2+v3)/2. Em seguida
u2=u1-v2=(v1+v2+v3)/2 - v2=(v1 - v2 + v3)/2
u3=v1-u1=v1-(v1+v2+v3)/2=(v1 - v2 - v3)/2 .

Passo 5

As coordenadas na base B são então:
. Colocando essas colunas na matriz, obtemos [S]_{A,B}.

Resposta

[S]A,B=12 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1

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