Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O enunciado define a transformação linear F: R^3to R^2 dada por (x,y,z)mapsto(x+y,;y+z). Vamos precisar achar o núcleo (Ker), a imagem (Im), escrever a matriz associada na base canônica e verificar se há inversa.

Passo 2

Para montar a matriz de F na base padrão de R^3 e R^2, calculamos F nos vetores canônicos e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1):
F(e1)=F(1,0,0)=(1+0,0+0)=(1,0),
F(e2)=F(0,1,0)=(0+1,1+0)=(1,1),
F(e3)=F(0,0,1)=(0+0,0+1)=(0,1)
Assim a matriz de F é
A=1&1&00&1&1

Passo 3

Para achar ker(F), resolvemos o sistema homogêneo:
x+y=0, y+z=0
Da primeira equação temos x=-y e da segunda z=-y. Logo todo (x,y,z)inker(F) é da forma
(x,y,z)=(-y,y,-y)=y,(-1,1,-1)
Assim
ker(F)=t(-1,1,-1)mid tin R

Passo 4

A imagem de F é o subespaço de R^2 gerado pelas colunas de A, isto é pelos vetores (1,0), (1,1) e (0,1). Note que (1,1)=(1,0)+(0,1), então
Im(F)=span(1,0),(0,1)= R^2

Passo 5

Para haver inversa linear precisamos que F seja bijetiva. Como dim(ker(F))=1>0, F não é injetiva (embora seja sobrejetiva). Logo não há inversa linear de F.

Resposta

Ker(F)={t(-1,1,-1)\mid t\in\mathbb R}; Im(F)=\mathbb R^2; matriz de F na base canônica: 1&1&00&1&1; não existe inversa pois F não é injetiva.

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