Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
O enunciado define a transformação linear F:
dada por
. Vamos precisar achar o núcleo (Ker), a imagem (Im), escrever a matriz associada na base canônica e verificar se há inversa.
Passo 2
Para montar a matriz de F na base padrão de
e
, calculamos F nos vetores canônicos
,
e
:
Assim a matriz de F é
Passo 3
Para achar
, resolvemos o sistema homogêneo:
Da primeira equação temos
e da segunda
. Logo todo
é da forma
Assim
Passo 4
A imagem de F é o subespaço de
gerado pelas colunas de
, isto é pelos vetores
,
e
. Note que
, então
Passo 5
Para haver inversa linear precisamos que F seja bijetiva. Como
, F não é injetiva (embora seja sobrejetiva). Logo não há inversa linear de F.
Resposta
Ker(F)={t(-1,1,-1)\mid t\in\mathbb R}; Im(F)=\mathbb R^2; matriz de F na base canônica:
; não existe inversa pois F não é injetiva.