Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

Nesta questão temos a transformação linear Fcolon R^3 to R^3 definida por F(x,y,z) = (x+y,;0,;z+x). Vamos precisar dos conceitos de núcleo, imagem, matriz associada à transformação e condições de invertibilidade (teorema do posto).

Passo 2

Para encontrar a matriz de F, aplicamos F aos vetores da base canônica. Usando e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1) temos: F(e1)=(1,0,1), F(e2)=(1,0,0) e F(e3)=(0,0,1). Logo, a matriz A de F é
A = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1

Passo 3

Para achar o núcleo de F, resolvemos F(x,y,z)=(0,0,0), ou seja o sistema
x+y = 0 0 = 0 z+x = 0
Da primeira equação temos y=-x e da terceira z=-x. Logo
(x,y,z) = (x,-x,-x) = x,(1,-1,-1), portanto ker F = span(1,-1,-1) e dimker F =1.

Passo 4

Para a imagem de F, observamos que ela é gerada pelas colunas de A, isto é pelos vetores (1,0,1),,(1,0,0) e (0,0,1). Note que
(1,0,1) = (1,0,0) + (0,0,1), logo uma base para a imagem é (1,0,0),(0,0,1) e
Im,F = (u,0,v) : u,vinR, dimIm,F = 2

Passo 5

Pelo teorema do posto, dimker F + dimIm,F = 1 + 2 =3, que é a dimensão do domínio, consistente com rank(A)=2<3. Como o posto de A é menor que 3, a transformação não é sobrejetora nem injetora, portanto não é invertível.

Resposta

Núcleo: ker F = span(1,-1,-1)
Imagem: Im,F = (u,0,v) : u,vinR = span(1,0,0),(0,0,1)
Matriz associada: A = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1
Transformação não possui inversa, pois rank(A)=2<3.

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