Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
Nesta questão temos a transformação linear definida por . Vamos precisar dos conceitos de núcleo, imagem, matriz associada à transformação e condições de invertibilidade (teorema do posto).
Passo 2
Para encontrar a matriz de , aplicamos aos vetores da base canônica. Usando , e temos: , e . Logo, a matriz de é
Passo 3
Para achar o núcleo de F, resolvemos F(x,y,z)=(0,0,0), ou seja o sistema
x+y = 0 0 = 0 z+x = 0
Da primeira equação temos y=-x e da terceira z=-x. Logo
(x,y,z) = (x,-x,-x) = x,(1,-1,-1), portanto ker F = span(1,-1,-1) e dimker F =1.
Passo 4
Para a imagem de F, observamos que ela é gerada pelas colunas de A, isto é pelos vetores (1,0,1),,(1,0,0) e (0,0,1). Note que
(1,0,1) = (1,0,0) + (0,0,1), logo uma base para a imagem é (1,0,0),(0,0,1) e
Im,F = (u,0,v) : u,vinR, dimIm,F = 2
Passo 5
Pelo teorema do posto, dimker F + dimIm,F = 1 + 2 =3, que é a dimensão do domínio, consistente com rank(A)=2<3. Como o posto de A é menor que 3, a transformação não é sobrejetora nem injetora, portanto não é invertível.
Resposta
Núcleo: ker F = span(1,-1,-1)
Imagem: Im,F = (u,0,v) : u,vinR = span(1,0,0),(0,0,1)
Matriz associada: A = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1
Transformação não possui inversa, pois rank(A)=2<3.