Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear F: R^3toR^3 dada por F(x,y,z)=(x+y,;y+z,;z+x). Precisamos achar o núcleo e a imagem de F, montar sua matriz na base canônica e verificar se ela é invertível, fornecendo a inversa se for o caso.

Passo 2

Para montar a matriz de F na base canônica, calculamos F(e1), F(e2) e F(e3). Temos
F(e1)=F(1,0,0)=(1,0,1)
F(e2)=F(0,1,0)=(1,1,0)
F(e3)=F(0,0,1)=(0,1,1)
Portanto a matriz de F é
A= 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1

Passo 3

Para encontrar o núcleo, resolvemos A,(x,y,z)^T=0, isto é:
x+y=0, y+z=0, z+x=0
Da primeira equação x=-y e da segunda z=-y. Substituindo na terceira: -y + -y = -2y = 0 implica y=0. Logo x=z=0. Assim ker F=(0,0,0).

Passo 4

Como dimker F=0 e o domínio é de dimensão 3, pelo teorema da dimensão temos dimIm,F=3. Alternativamente, calculando o determinante:
det A = 2 neq 0,
o que mostra que A tem posto 3. Logo Im,F=R^3.

Passo 5

Como det A=2neq0, F é invertível. Usando o método da matriz adjunta, obtém-se
A^-1=12 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1
Logo, se F(x,y,z)=(u,v,w), então
F^-1(u,v,w)=l(tfracu-v+w2,;tfracu+v-w2,;tfrac-u+v+w2r)

Resposta

Núcleo (F) = (0,0,0). Imagem (F) = R^3.
Matriz na base canônica:
A= 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1
Como det A=2neq0, F é invertível e
A^-1=12 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 ,
so
F^-1(u,v,w)=l(tfracu-v+w2,;tfracu+v-w2,;tfrac-u+v+w2r)

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