Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear F: dada por . Precisamos achar o núcleo e a imagem de F, montar sua matriz na base canônica e verificar se ela é invertível, fornecendo a inversa se for o caso.
Passo 2
Para montar a matriz de F na base canônica, calculamos , e . Temos
Portanto a matriz de F é
Passo 3
Para encontrar o núcleo, resolvemos A,(x,y,z)^T=0, isto é:
x+y=0, y+z=0, z+x=0
Da primeira equação x=-y e da segunda z=-y. Substituindo na terceira: -y + -y = -2y = 0 implica y=0. Logo x=z=0. Assim ker F=(0,0,0).
Passo 4
Como dimker F=0 e o domínio é de dimensão 3, pelo teorema da dimensão temos dimIm,F=3. Alternativamente, calculando o determinante:
det A = 2 neq 0,
o que mostra que A tem posto 3. Logo Im,F=R^3.
Passo 5
Como det A=2neq0, F é invertível. Usando o método da matriz adjunta, obtém-se