Questão 1 (valor 2 pontos).
Determine se o conjunto
é subespaço de
.
Solução:
No conjunto
devemos ter elementos
. Um condição para que
seja subconjuto
, é que
contenha o vetor nulo. Então devemos ter
como vemos não exite
real que satisfaça a equação, portanto
não é subespaço de
.
Solução:
No conjunto
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto W = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | y = 2x, z = −x + 1 } é um subespaço de ℝ³. O conteúdo da matéria é subespaços vetoriais, e para isso precisamos lembrar que todo subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Pela definição de W, qualquer vetor em W tem a forma (x,2x,−x+1). Ou seja, um elemento genérico de W pode ser escrito como
Um jeito simples de checar se W é subespaço é verificar se ele contém o vetor zero. Vamos ver se existe algum x ∈ ℝ tal que
Passo 3
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações vem x = 0, mas a terceira pede −0 + 1 = 0, ou seja, 1 = 0, o que é impossível. Logo não há x real que torne o vetor genérico igual a (0,0,0).
Como W não contém o vetor zero, ele já falha numa das condições básicas para ser subespaço. Portanto não precisamos checar mais nada.
Como W não contém o vetor zero, ele já falha numa das condições básicas para ser subespaço. Portanto não precisamos checar mais nada.
Resposta
W não é subespaço de ℝ³.