Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear definida por , e quer núcleo, imagem, matriz no base canônico e, se existir, inversa.
Passo 2
Vamos achar o núcleo: resolvemos . Isso dá o sistema
Daí , e fica livre, logo
Passo 3
Para a imagem, perceba que qualquer vai para
que são vetores da forma . Assim
Passo 4
Para escrever a matriz de na base canônica, calculamos as imagens dos vetores :
Colocando como colunas,
Passo 5
Como ker F não é {0} (tem dimensão 1), F não é injetora e portanto não é inversível. Não existe matriz inversa para A.
Resposta
ker F=span(0,0,0,1), ImF=(a,b,0,c):a,b,cin R, A=-2&0&0&00&tfrac12&0&00&0&0&00&0&1&0, e não há inversa.