Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear F: R^4to R^4 definida por F(x,y,z,w)=(-2x,tfrac y2,0,z), e quer núcleo, imagem, matriz no base canônico e, se existir, inversa.

Passo 2

Vamos achar o núcleo: resolvemos F(x,y,z,w)=(0,0,0,0). Isso dá o sistema
-2x=0,
y2=0,
0=0,
z=0
Daí x=0,y=0,z=0, e w fica livre, logo
ker F=(0,0,0,w):win R=span(0,0,0,1)

Passo 3

Para a imagem, perceba que qualquer (x,y,z,w) vai para
(-2x,tfrac y2,0,z),
que são vetores da forma (a,b,0,c). Assim
ImF=(a,b,0,c):a,b,cin R=span(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)

Passo 4

Para escrever a matriz A de F na base canônica, calculamos as imagens dos vetores e1,e2,e3,e4:
F(e1)=(-2,0,0,0),
F(e2)=(0,tfrac12,0,0),
F(e3)=(0,0,0,1),
F(e4)=(0,0,0,0)
Colocando como colunas,
A=-2&0&0&00&tfrac12&0&00&0&0&00&0&1&0

Passo 5

Como ker F não é {0} (tem dimensão 1), F não é injetora e portanto não é inversível. Não existe matriz inversa para A.

Resposta

ker F=span(0,0,0,1), ImF=(a,b,0,c):a,b,cin R, A=-2&0&0&00&tfrac12&0&00&0&0&00&0&1&0, e não há inversa.

Exercícios relacionados