Exercício 9 Considere r: I R^3 uma curva definida num intervalo I e derivável até segunda ordem. Suponha que r denota a posição de uma partícula P num dado instante t in I. Considere as curvas v(t)=r^prime(t) e a(t)=v^prime(t), definidas em I.
(a) Se |v(t)|=k, para todo t in I e uma constante k>0, prove que
lang<= v(t), a(t)rang<==0, forall t in I
(b) Como é possivel calcular o deslocamento dessa particula num intervalo [a, b] subset I ?

Passo 1

Temos uma curva r: I to R^3, derivável até segunda ordem, que descreve a posição de uma partícula no tempo t. Definimos a velocidade v(t)=r'(t) e a aceleração a(t)=v'(t). A parte (a) pede para mostrar que, se a norma da velocidade |v(t)|=k>0 é constante, então lang<= v(t),a(t)rang<==0. A parte (b) pede o deslocamento dessa partícula no intervalo [a,b]subset I.

Passo 2

Como |v(t)|=k é constante, sua quadrado |v(t)|^2=k^2 também é constante. Logo,
block::
[ \frac{d}{dt}\bigl(|v(t)|^2\bigr)=0 ]
Mas temos |v(t)|^2=lang<= v(t),v(t)rang<=. Usando a regra de derivação de produto interno,
block::
[ \frac{d}{dt}\langle v,v\rangle=\langle v

Passo 3

,v\rangle+\langle v,v’\rangle=2\langle v,a\rangle ]
Assim
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[ 2\langle v(t),a(t)\rangle=0 ]
e portanto lang<= v(t),a(t)rang<==0 para todo tin I.

Passo 4

O deslocamento vetorial em [a,b] é dado pela diferença de posição
block::
[ r(b)-r(a) ]
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
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[ r(b)-r(a)=\int_a^b r’(t),dt=\int_a^b v(t),dt. ]

Resposta

(a) lang<= v(t),a(t)rang<==0 para todo tin I.
(b) O deslocamento em [a,b] é
r(b)-r(a)=integrala^b v(t),dt

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