Exercício 9 Considere
uma curva definida num intervalo
e derivável até segunda ordem. Suponha que
denota a posição de uma partícula
num dado instante
. Considere as curvas
e
, definidas em
.
(a) Se
, para todo
e uma constante
, prove que
(b) Como é possivel calcular o deslocamento dessa particula num intervalo
?
(a) Se
Passo 1
Temos uma curva
, derivável até segunda ordem, que descreve a posição de uma partícula no tempo
. Definimos a velocidade
e a aceleração
. A parte (a) pede para mostrar que, se a norma da velocidade
é constante, então
. A parte (b) pede o deslocamento dessa partícula no intervalo
.
Passo 2
Como
é constante, sua quadrado
também é constante. Logo,
block::
[ \frac{d}{dt}\bigl(|v(t)|^2\bigr)=0 ]
block::
[ \frac{d}{dt}\bigl(|v(t)|^2\bigr)=0 ]
Mas temos
. Usando a regra de derivação de produto interno,
block::
[ \frac{d}{dt}\langle v,v\rangle=\langle v
block::
[ \frac{d}{dt}\langle v,v\rangle=\langle v
Passo 3
,v\rangle+\langle v,v’\rangle=2\langle v,a\rangle ]
Assim
block::
[ 2\langle v(t),a(t)\rangle=0 ]
block::
[ 2\langle v(t),a(t)\rangle=0 ]
e portanto
para todo
.
Passo 4
O deslocamento vetorial em
é dado pela diferença de posição
block::
[ r(b)-r(a) ]
block::
[ r(b)-r(a) ]
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
block::
[ r(b)-r(a)=\int_a^b r’(t),dt=\int_a^b v(t),dt. ]
block::
[ r(b)-r(a)=\int_a^b r’(t),dt=\int_a^b v(t),dt. ]
Resposta
(a)
para todo
.
(b) O deslocamento em é
(b) O deslocamento em