Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos a EDO
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
com condição inicial y(1)=1. Identificamos
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
com condição inicial y(1)=1. Identificamos
Passo 2
Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação diferencial é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial Ψ(x,y) tal que Ψ_x = M e Ψ_y = N. Integramos Ψ_x em relação a x:
Diferenciando em y e igualando a N:
Logo
e
Passo 4
Aplicamos a condição inicial y(1)=1 para determinar a constante C. Em x=1 e y=1:
A solução implícita fica
Passo 5
Para obter y(x) explicitamente fazemos z=y^2 e resolvemos a equação quadrática em z, escolhendo o ramo compatível com y(1)=1. No fim chega-se a