Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos a EDO
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
com condição inicial y(1)=1. Identificamos
M(x,y)=x2y^4, N(x,y)=3y^2 - x^2y^5

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2xy^5, partial Npartial x = -2xy^5
Como são iguais, a equação diferencial é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial Ψ(x,y) tal que Ψ_x = M e Ψ_y = N. Integramos Ψ_x em relação a x:
Ψ(x,y) = integral x2y^4,dx = x^24y^4 + h(y)
Diferenciando em y e igualando a N:
Ψy = -x^2y^5 + h'(y) = 3y^2 - x^2y^5 implies h'(y)=3y^3
Logo
h(y) = -32y^2 + C
e
Ψ(x,y)=x^24y^4-32y^2

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=1 para determinar a constante C. Em x=1 e y=1:
Ψ(1,1)=14-32= -54 = C
A solução implícita fica
x^24y^4-32y^2=-54

Passo 5

Para obter y(x) explicitamente fazemos z=y^2 e resolvemos a equação quadrática em z, escolhendo o ramo compatível com y(1)=1. No fim chega-se a
y(x)=raiz3+raiz9-5x^25

Resposta

y(x)=raiz3+raiz9-5x^25

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