Exercício 5 Considere R^3 com o produto interno canônico. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schimidt à base alpha=(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1) para encontrar uma base ortogonal. Se a ordem da base for mudada para alpha^prime=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) o resultado é o mesmo?

Passo 1

Estamos em R^3 com o produto interno canônico e temos a base alpha=v1,v2,v3=(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1). O objetivo é aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal e depois verificar se, ao trocar a ordem para alpha' = (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1), o resultado se altera.

Passo 2

O método de Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u1,u2,u3 a partir de v1,v2,v3 definindo
u1 = v1,
u2 = v2 - proju1(v2),
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3),
onde proju(w)=lang<= w,urang<=lang<= u,urang<=u.

Passo 3

Primeiro vetor ortogonal:
u1 = v1 = (0,0,1)
|u1|^2 = 1.

Passo 4

Segundo vetor ortogonal:
lang<= v2,u1rang<= = (0,1,1)cdot(0,0,1)=1,
logo
u2 = v2 - 1cdot u1 = (0,1,1) - (0,0,1) = (0,1,0)
E |u2|^2 = 1.

Passo 5

Terceiro vetor ortogonal:
lang<= v3,u1rang<= = (1,1,1)cdot(0,0,1)=1,
lang<= v3,u2rang<= = (1,1,1)cdot(0,1,0)=1
Assim
u3 = v3 - 1cdot u1 - 1cdot u2 = (1,1,1) - (0,0,1) - (0,1,0) = (1,0,0)

Passo 6

Portanto a base ortogonal obtida a partir de alpha é
(0,0,1),,(0,1,0),,(1,0,0)

Passo 7

Agora trocamos a ordem para alpha' = w1,w2,w3 = (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) e repetimos Gram–Schmidt. Já no segundo passo surge um vetor
u2' = w2 - lang<= w2,w1rang<=lang<= w1,w1rang<=w1 = (0,1,1) - tfrac23(1,1,1) = (-tfrac23,tfrac13,tfrac13),
que não coincide com (0,1,0).

Passo 8

Concluímos que Gram–Schmidt é dependente da ordem: para alpha' obtemos outra base ortogonal diferente da obtida para alpha, logo o resultado não é o mesmo.

Resposta

A base ortogonal obtida para alpha é (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0). Ao usar a ordem alpha', o processo gera vetores distintos, portanto o resultado não é o mesmo.

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