Exercício 5 Considere
com o produto interno canônico. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schimidt à base
para encontrar uma base ortogonal. Se a ordem da base for mudada para
o resultado é o mesmo?
Passo 1
Estamos em
com o produto interno canônico e temos a base
. O objetivo é aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal e depois verificar se, ao trocar a ordem para
, o resultado se altera.
Passo 2
O método de Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais
a partir de
definindo
onde
.
Passo 3
Primeiro vetor ortogonal:
Aí
.
Passo 4
Segundo vetor ortogonal:
logo
E
.
Passo 5
Terceiro vetor ortogonal:
Assim
Passo 6
Portanto a base ortogonal obtida a partir de
é
Passo 7
Agora trocamos a ordem para
e repetimos Gram–Schmidt. Já no segundo passo surge um vetor
que não coincide com
.
Passo 8
Concluímos que Gram–Schmidt é dependente da ordem: para
obtemos outra base ortogonal diferente da obtida para
, logo o resultado não é o mesmo.
Resposta
A base ortogonal obtida para
é
. Ao usar a ordem
, o processo gera vetores distintos, portanto o resultado não é o mesmo.