Exercício 6 Considere
com o produto interno canônico. Seja
o subespaço gerado por
e encontre a projeção ortogonal em
do vetor
.
Passo 1
Neste exercício vamos usar projeção ortogonal num subespaço de
. O que precisamos: uma base de
, calcular produtos internos para montar a matriz de Gram, obter os coeficientes da combinação linear que dá a projeção e, por fim, escrever o vetor projetado.
Passo 2
Denotando
e
, montamos a matriz de Gram com entradas
. Calculamos:
Logo
Passo 3
Agora calculamos os produtos internos de
com
e
:
Passo 4
Para achar os coeficientes
da projeção usamos
Passo 5
Invertendo
(determinante
) temos
Passo 6
e, portanto,
Passo 7
Finalmente, a projeção ortogonal é