Exercício 6 Considere R^4 com o produto interno canônico. Seja W subset R^4 o subespaço gerado por (1,0,1,1) e(1,1,1,0) e encontre a projeção ortogonal em W do vetor v=(2,1,1,1).

Passo 1

Neste exercício vamos usar projeção ortogonal num subespaço de R^4. O que precisamos: uma base de W, calcular produtos internos para montar a matriz de Gram, obter os coeficientes da combinação linear que dá a projeção e, por fim, escrever o vetor projetado.

Passo 2

Denotando w1=(1,0,1,1) e w2=(1,1,1,0), montamos a matriz de Gram com entradas Gij=lang<= wi,wjrang<=. Calculamos:
lang<= w1,w1rang<==3, lang<= w2,w2rang<==3, lang<= w1,w2rang<==2, lang<= w2,w1rang<==2
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G=3&22&3

Passo 3

Agora calculamos os produtos internos de v=(2,1,1,1) com w1 e w2:
lang<= v,w1rang<==4, lang<= v,w2rang<==4

Passo 4

Para achar os coeficientes c1,c2 da projeção usamos
Gc1c2= 44

Passo 5

Invertendo G (determinante 5) temos
G^-1=153&-2-2&3

Passo 6

e, portanto,
c1c2 =G^-144 =4/54/5

Passo 7

Finalmente, a projeção ortogonal é
projW(v)=c1w1+c2w2=45(w1+w2)=45(2,1,2,1)=(tfrac85,tfrac45,tfrac85,tfrac45)

Resposta

l(tfrac85,tfrac45,tfrac85,tfrac45r)

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