Exercício 3 Seja V um espaço vetorial sobre R. Suponha que lang<=cdot, cdotrang<=1 elang<=cdot, cdotrang<=2 são produtos internos em V.
Mostre também que se a>0 então alang<=cdot, cdotrang<=1 é produto interno.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial real V e que lang<=cdot,cdotrang<=1 já é um produto interno em V. Precisamos provar que, para todo a>0, a aplicação Vtimes VtoR dada por $ (x,y)\mapsto a,\langle x,y\rangle_1$ também satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

A primeira propriedade a checar é a bilinearidade. Lembrando que lang<=cdot,cdotrang<=1 é bilinear, para quaisquer vetores u,v,win V e escalar lambdainR temos:
(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(u+v,w)&=a,lang<= u+v,wrang<=1=al(lang<= u,wrang<=1+lang<= v,wrang<=1r) &=a,lang<= u,wrang<=1+a,lang<= v,wrang<=1=(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(u,w)+(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(v,w), (a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(lambda u,v)&=a,lang<=lambda u,vrang<=1=a,lambdalang<= u,vrang<=1=lambdal(a,lang<= u,vrang<=1r)=lambda,(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(u,v)
Assim mostramos que a,lang<=cdot,cdotrang<=1 é linear em cada argumento.

Passo 3

Agora conferimos a simetria. Para quaisquer x,yin V:
(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(x,y)=a,lang<= x,yrang<=1=a,lang<= y,xrang<=1=(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(y,x), onde usamos que lang<=cdot,cdotrang<=1 já é simétrico.

Passo 4

Por fim, a positividade definida. Para todo xin V,
(a,lang<=cdot,cdotrang<=1)(x,x)=a,lang<= x,xrang<=1
Como lang<= x,xrang<=1>0 quando xneq0 e a>0, o produto a,lang<= x,xrang<=1 também é estritamente positivo para xneq0, e é zero se e somente se x=0.

Resposta

Para todo escalar a>0, a aplicação a,lang<=cdot,cdotrang<=1 satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em V.

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