Exercício 3 Seja
um espaço vetorial sobre
. Suponha que
são produtos internos em
.
Mostre também que se
então
é produto interno.
Mostre também que se
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial real
e que
já é um produto interno em
. Precisamos provar que, para todo
, a aplicação
dada por $ (x,y)\mapsto a,\langle x,y\rangle_1$ também satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
A primeira propriedade a checar é a bilinearidade. Lembrando que
é bilinear, para quaisquer vetores
e escalar
temos:
Assim mostramos que
Passo 3
Agora conferimos a simetria. Para quaisquer
:
Passo 4
Por fim, a positividade definida. Para todo
,
Como
Resposta
Para todo escalar
, a aplicação
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em
.