Exercício 2. Considere em
a relação
definida por:
se existe
tal que
.
(a) Mostre que
é uma relação de ordem (parcial) em
.
(b) Seja
ordenado pela relação
acima. Determine ou justifique a não existência de
(b.1) Elementos maximal e minimal de
.
(b.2) Cotas superior e inferior para
.
(b.3) Cota superior mínima e inferior máxima para
.
(b.4) Menor e maior elementos de $X.
(a) Mostre que
(b) Seja
(b.1) Elementos maximal e minimal de
(b.2) Cotas superior e inferior para
(b.3) Cota superior mínima e inferior máxima para
(b.4) Menor e maior elementos de $X.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma relação
definida nos números naturais
onde
significa que existe um número natural
tal que
. O exercício pede para, na parte (a), mostrar que essa relação
é uma relação de ordem parcial em
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem parcial e verificar as propriedades que definem isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma relação de ordem parcial precisa satisfazer três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.
- Reflexividade: Para todo
em , deve ser verdadeiro. - Antissimetria: Para quaisquer
em , se e , então . - Transitividade: Para quaisquer
em , se e , então .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação
.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos mostrar que para todo
,
é verdadeiro. Isso significa que existe um
tal que
.
Bem, se escolhermos
, então
, que é sempre verdadeiro. Portanto,
é reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Vamos supor que
e
. Isso significa que existem
tais que:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Isso implica que
. Como
e
são números naturais, a única possibilidade é
. Portanto,
. Assim,
é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Suponha que
e
. Então, existem
tais que:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Como
é um número natural, temos que
. Portanto,
é transitiva.
Resposta
Como a relação
satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que
é uma relação de ordem parcial em
.