Exercício 2. Considere em N a relação R definida por: x R y se existe n in N tal que y=n x.
(a) Mostre que R é uma relação de ordem (parcial) em N.
(b) Seja X:=2,3,5,6,10,15,18 subseteq N ordenado pela relação R acima. Determine ou justifique a não existência de
(b.1) Elementos maximal e minimal de X.
(b.2) Cotas superior e inferior para X.
(b.3) Cota superior mínima e inferior máxima para X.
(b.4) Menor e maior elementos de $X.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma relação R definida nos números naturais N onde x R y significa que existe um número natural n tal que y = n times x . O exercício pede para, na parte (a), mostrar que essa relação R é uma relação de ordem parcial em N . Para isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem parcial e verificar as propriedades que definem isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma relação de ordem parcial precisa satisfazer três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.
  • Reflexividade: Para todo x em N , x R x deve ser verdadeiro.
  • Antissimetria: Para quaisquer x, y em N , se x R y e y R x , então x = y .
  • Transitividade: Para quaisquer x, y, z em N , se x R y e y R z , então x R z .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa relação R .

Passo 3

Reflexividade: Precisamos mostrar que para todo x in N , x R x é verdadeiro. Isso significa que existe um n in N tal que x = n times x .
Bem, se escolhermos n = 1 , então x = 1 times x , que é sempre verdadeiro. Portanto, R é reflexiva.

Passo 4

Antissimetria: Vamos supor que x R y e y R x . Isso significa que existem n, m in N tais que:
y = n times x e x = m times y
Substituindo a segunda equação na primeira:
y = n times (m times y) = (n times m) times y
Isso implica que n times m = 1 . Como n e m são números naturais, a única possibilidade é n = m = 1 . Portanto, y = x . Assim, R é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade: Suponha que x R y e y R z . Então, existem n, m in N tais que:
y = n times x e z = m times y
Substituindo a primeira equação na segunda:
z = m times (n times x) = (m times n) times x
Como m times n é um número natural, temos que x R z . Portanto, R é transitiva.

Resposta

Como a relação R satisfaz as propriedades de reflexividade, antissimetria e transitividade, concluímos que R é uma relação de ordem parcial em N .

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