Livro do Stewart, Volume 2, 5a Edição (Assunto: Rotacional e Campos Vetoriais Conservativos):

Enunciado:

Determine se o campo vetorial F=y cos (x y) x+x cos (x y) y-sen(z) z é ou não conservativo. Em caso positivo, determine também um campo escalar expresso pela função f tal que F=nabla f.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec F(x,y,z) = ycos(xy),hat x ;+; xcos(xy),hat y ;-;sin(z),hat z
e pede para decidir se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=vec F. Vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar f.

Passo 2

Calculamos o rotacional nablatimesvec F. Em coordenadas cartesianas,
nablatimesvec F = hat x & hat y & hat z partialx & partialy & partialz ycos(xy) & xcos(xy) & -sin(z)
As componentes são:
hat x: partialy(-sin z)-partialz[xcos(xy)]=0-0=0.
hat y: partialz[ycos(xy)]-partialx(-sin z)=0-0=0.
hat z:
partialx[xcos(xy)]-partialy[ycos(xy)] =l(cos(xy)-xysin(xy)r)-l(cos(xy)-xysin(xy)r) =0
Logo nablatimesvec F=vec0.

Passo 3

Como o domínio é todo R^3, que é simplesmente conexo, o fato de nablatimesvec F=0 implica que vec F é conservativo. Portanto existe uma função f(x,y,z) com nabla f=vec F.

Passo 4

Para achar f, integramos passo a passo:
  1. Integramos
    partial fpartial x=ycos(xy)
    em relação a x, vendo y como constante:
    f(x,y,z)=integral ycos(xy),dx = sin(xy) + C(y,z)
  2. Diferenciamos em y:
    partial fpartial y =xcos(xy)+partial Cpartial y
    e igualamos a xcos(xy). Assim partial C/partial y=0, ou seja C depende só de z: C(y,z)=h(z).
  3. Finalmente, como
    partial fpartial z=h'(z)
    deve ser igual a -sin(z), temos h'(z)=-sin(z) e
    h(z)=integral -sin(z),dz = cos(z) + const
Portanto uma escolha conveniente de potencial é
f(x,y,z)=sin(xy)+cos(z)

Resposta

O campo é conservativo, e uma função potencial é
f(x,y,z)=sin(xy)+cos(z)

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