Livro do Stewart, Volume 2, 5a Edição (Assunto: Rotacional e Campos Vetoriais Conservativos):
Enunciado:
Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Em caso positivo, determine também um campo escalar expresso pela função tal que .
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para decidir se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que . Vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar .
Passo 2
Calculamos o rotacional . Em coordenadas cartesianas,
As componentes são: hat x: partialy(-sin z)-partialz[xcos(xy)]=0-0=0. hat y: partialz[ycos(xy)]-partialx(-sin z)=0-0=0. hat z:
Como o domínio é todo R^3, que é simplesmente conexo, o fato de nablatimesvec F=0 implica que vec F é conservativo. Portanto existe uma função f(x,y,z) com nabla f=vec F.
Passo 4
Para achar f, integramos passo a passo:
Integramos
partial fpartial x=ycos(xy)
em relação a x, vendo y como constante:
f(x,y,z)=integral ycos(xy),dx = sin(xy) + C(y,z)
Diferenciamos em y:
partial fpartial y =xcos(xy)+partial Cpartial y
e igualamos a xcos(xy). Assim partial C/partial y=0, ou seja C depende só de z: C(y,z)=h(z).