Exercício 5
Considere o seguinte subespaço
.
(a) Qual é a dimensão de
? Descreva
geometricamente.
(b) Encontre uma base ortonormal de W.
(c) O vetor
pertence ao subespaço W? Em caso afirmativo, expresse
como combinação linear dos elementos da base ortonormal encontrada.
(a) Qual é a dimensão de
(b) Encontre uma base ortonormal de W.
(c) O vetor
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede:
(a) a dimensão de e sua descrição geométrica;
(b) uma base ortonormal de ;
(c) verificar se pertence a
e, em caso afirmativo, expressá-lo como combinação linear da base ortonormal.
(a) a dimensão de
(b) uma base ortonormal de
(c) verificar se
Passo 2
Primeiro representamos
como o span dos vetores geradores obtidos ao variar
:
Para achar a dimensão, calculamos o posto de
. O determinante da matriz cujas colunas são
dá zero, logo só há duas colunas linearmente independentes. Portanto
e
é um plano através da origem em
.
Passo 3
Escolhemos como base inicial
, que são independentes, e aplicamos Gram–Schmidt.
Calculemos primeiro
Calculemos primeiro
Projeta-se
sobre
:
Então o componente ortogonal é
Seu comprimento é
logo
Assim uma base ortonormal de
é
Passo 4
Para ver se
está em
, projetamos em
.
Calculamos os coeficientes
Calculamos os coeficientes
Então
sem resíduo, o que prova que
.
Resposta
(a)
. Geometricamente,
é um plano que passa pela origem em
.
(b) Uma base ortonormal é
(b) Uma base ortonormal é
(c) Sim,
e