Exercício 5

Considere o seguinte subespaço \mathbb{W}=\{(a+7 b+c, 2 a-b-c, 5 a+5 b-c) \mid a, b, c \in \mathbb{R}\}.
(a) Qual é a dimensão de \mathbb{W} ? Descreva \mathbb{W} geometricamente.
(b) Encontre uma base ortonormal de W.
(c) O vetor \vec{v}=(15,-6,3) pertence ao subespaço W? Em caso afirmativo, expresse \vec{v} como combinação linear dos elementos da base ortonormal encontrada.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
\mathbb{W}=\{(a+7b+c,\;2a-b-c,\;5a+5b-c)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}
e pede:
(a) a dimensão de \mathbb{W} e sua descrição geométrica;
(b) uma base ortonormal de \mathbb{W};
(c) verificar se \vec v=(15,-6,3) pertence a \mathbb{W} e, em caso afirmativo, expressá-lo como combinação linear da base ortonormal.

Passo 2

Primeiro representamos \mathbb{W} como o span dos vetores geradores obtidos ao variar a,b,c:
u_1=(1,2,5),\quad u_2=(7,-1,5),\quad u_3=(1,-1,-1).
Para achar a dimensão, calculamos o posto de \{u_1,u_2,u_3\}. O determinante da matriz cujas colunas são u_1,u_2,u_3 dá zero, logo só há duas colunas linearmente independentes. Portanto
\dim\mathbb{W}=2
e \mathbb{W} é um plano através da origem em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Escolhemos como base inicial \{u_1,u_3\}, que são independentes, e aplicamos Gram–Schmidt.
Calculemos primeiro
\|u_1\|=\sqrt{1^2+2^2+5^2}=\sqrt{30},\quad e_1=\frac{u_1}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,5).
Projeta-se u_3 sobre e_1:
\mathrm{proj}_{e_1}(u_3)=\bigl(u_3\cdot e_1\bigr)\,e_1 =\frac{-6}{\sqrt{30}}\;e_1 =\frac{-6}{30}\,u_1 =\Bigl(-\tfrac15,-\tfrac25,-1\Bigr).
Então o componente ortogonal é
f_2 = u_3-\mathrm{proj}_{e_1}(u_3) =\Bigl(1,-1,-1\Bigr)-\Bigl(-\tfrac15,-\tfrac25,-1\Bigr) =\Bigl(\tfrac65,-\tfrac35,0\Bigr).
Seu comprimento é
\|f_2\|=\sqrt{\bigl(\tfrac65\bigr)^2+\bigl(-\tfrac35\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{36+9}{25}} =\frac{3\sqrt5}{5},
logo
e_2=\frac{f_2}{\|f_2\|} =\frac{\frac{1}{5}(6,-3,0)}{\frac{3\sqrt5}{5}} =\frac{1}{\sqrt5}(2,-1,0).
Assim uma base ortonormal de \mathbb{W} é
\boxed{\,e_1=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,5),\quad e_2=\frac{1}{\sqrt5}(2,-1,0)\,.}

Passo 4

Para ver se \vec v=(15,-6,3) está em \mathbb{W}, projetamos em \{e_1,e_2\}.
Calculamos os coeficientes
\alpha=v\cdot e_1 =\frac{15\cdot1+(-6)\cdot2+3\cdot5}{\sqrt{30}} =\frac{18}{\sqrt{30}} =\frac{3\sqrt{30}}5,
\beta=v\cdot e_2 =\frac{15\cdot2+(-6)\cdot(-1)+3\cdot0}{\sqrt5} =\frac{36}{\sqrt5} =\frac{36\sqrt5}{5}.
Então
\alpha\,e_1+\beta\,e_2 =\bigl(15,-6,3\bigr) =\vec v,
sem resíduo, o que prova que \vec v\in\mathbb{W}.

Resposta

(a) \dim\mathbb{W}=2. Geometricamente, \mathbb{W} é um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3.
(b) Uma base ortonormal é
e_1=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,5), \quad e_2=\frac{1}{\sqrt5}(2,-1,0).
(c) Sim, \vec v\in\mathbb{W} e
\vec v =\frac{3\sqrt{30}}5\,e_1 +\frac{36\sqrt5}{5}\,e_2.

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