Exercício 0.3. Encontre o conjunto solução do sistema abaixo. Diga qual é a dimensão desse conjunto solução. Explique sua resposta.
\left\{\begin{array}{l} 1 x+2 y+3 z+4 w=0 \\\\ 0 x+1 y+2 z+3 w=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução do sistema linear em quatro variáveis
\begin{cases} x+2y+3z+4w=0,\\\ y+2z+3w=0, \end{cases}
ou seja, queremos o espaço nulo da matriz de coeficientes. Para isso vamos usar eliminação de Gauss e o conceito de variáveis pivô e livres.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema e já vendo que não há necessidade de trocar linhas, temos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 &\vrule& 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 &\vrule& 0 \end{pmatrix}.
Aqui o pivô da primeira linha está na coluna de x e o da segunda na coluna de y. As variáveis correspondentes a colunas de pivô são x e y. As restantes, z e w, ficam livres. Chamamos de parâmetros z e w.

Passo 3

Da segunda equação extraímos
y+2z+3w=0\quad\Longrightarrow\quad y=-2z-3w.
Substituindo em x+2y+3z+4w=0, vem
x+2(-2z-3w)+3z+4w=0 \quad\Longrightarrow\quad x-4z-6w+3z+4w=0 \quad\Longrightarrow\quad x=z+2w.
Logo a solução geral é
(x,y,z,w)=(\,z+2w,\,-2z-3w,\,z,\,w) =z\,(1,-2,1,0)+w\,(2,-3,0,1),
com z,w\in\mathbb{R}. Como há dois parâmetros livres ( z e w), a dimensão do espaço solução é 2.

Resposta

\{(x,y,z,w)=z(1,-2,1,0)+w(2,-3,0,1)\mid z,w\in\mathbb{R}\},
dimensão =2.

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