Exercício 0.4. Seja A_{n \times n} uma matriz simétrica. Mostre que A^{2} também é simétrica. Mostre que A^{3} também é simétrica.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz n\times n simétrica, ou seja, satisfaz
A^{T}=A.
Para mostrar que A^{2} e A^{3} também são simétricas, vamos usar a propriedade da transposta de um produto:
(BC)^{T}=C^{T}B^{T}.

Passo 2

Mostrando que A^{2} é simétrica. Como A^{2}=A\,A, temos
(A^{2})^{T}=(A\,A)^{T}=A^{T}A^{T}.
Mas A^{T}=A, então
A^{T}A^{T}=A\,A=A^{2}.
Logo (A^{2})^{T}=A^{2}, ou seja, A^{2} é simétrica.

Passo 3

Mostrando que A^{3} é simétrica. Escrevendo A^{3}=A^{2}A, temos
(A^{3})^{T}=(A^{2}A)^{T}=A^{T}(A^{2})^{T}.
Pela simetria de A e do resultado do passo anterior, A^{T}=A e (A^{2})^{T}=A^{2}. Logo
(A^{3})^{T}=A\,A^{2}=A^{3},
o que mostra que A^{3} é simétrica.

Resposta

A^{2} e A^{3} são simétricas.

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