Considere a tabela da função f(x)=x \sqrt{x}.
\mathbf{x} 2,0 2,5 3,2 3,9 4,1 5,0
f(x) 2,8284 3,9528 5,7243 7,7019 8,3019 11,1803
a) Calcular P_{2}(3,5).
b) Calcular \left|f(3,5)-P_{2}(3,5)\right|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular P_{2}(3,5), o polinómio interpolador de grau 2 avaliado em x=3,5.
  • (b) Calcular \left|f(3,5)-P_{2}(3,5)\right|, o erro absoluto entre o valor verdadeiro e o valor interpolado.
Da tabela fornecida peguei explicitamente os seguintes dados:
  • \,x=3,2 com f(3,2)=5,7243.
  • \,x=3,9 com f(3,9)=7,7019.
  • \,x=4,1 com f(4,1)=8,3019.
Vou usar esses três pontos para construir o polinómio quadrático P_2 (escolhi-os porque são os três nós mais próximos de x=3,5, o que tende a reduzir o erro da interpolação).

Passo 2

Escolhi usar o polinómio na forma de Newton com diferenças divididas porque é um método direto e fácil de calcular passo a passo: basta calcular diferenças de primeira e segunda ordem e depois avaliar o polinómio. A forma geral (grau 2) é:
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1]\,(x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Aqui:
  • x_0,x_1,x_2 são os nós usados (aqui \,x_0=3,2,\;x_1=3,9,\;x_2=4,1).
  • f[x_i]=f(x_i).
  • f[x_i,x_j]=\dfrac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i} é a diferença dividida de primeira ordem.
  • f[x_i,x_j,x_k]=\dfrac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i} é a diferença dividida de segunda ordem.
Vou calcular as diferenças divididas com os números que peguei da tabela.

Passo 3

Calcular a primeira diferença dividida entre x_0=3,2 e x_1=3,9:
f[x_0,x_1]=\dfrac{f(3,9)-f(3,2)}{3,9-3,2} =\dfrac{7,7019-5,7243}{0,7}.
Faço a subtração no numerador:
7,7019-5,7243=1,9776.
Agora divido por 0,7:
f[x_0,x_1]=\dfrac{1,9776}{0,7}=2,825142857\ldots

Passo 4

Calcular a primeira diferença dividida entre x_1=3,9 e x_2=4,1:
f[x_1,x_2]=\dfrac{f(4,1)-f(3,9)}{4,1-3,9} =\dfrac{8,3019-7,7019}{0,2}.
No numerador 8,3019-7,7019=0,6000. Dividindo por 0,2 dá:
f[x_1,x_2]=\dfrac{0,6000}{0,2}=3,0.

Passo 5

Calcular a segunda diferença dividida f[x_0,x_1,x_2]:
f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\dfrac{3,0-2,825142857\ldots}{4,1-3,2}.
No numerador temos
3,0-2,825142857\ldots=0,174857143\ldots
e no denominador 4,1-3,2=0,9. Portanto
f[x_0,x_1,x_2]=\dfrac{0,174857143\ldots}{0,9}=0,194285714\ldots

Passo 6

Agora escrevo o polinómio de Newton e avalio em x=3,5. Lembrando f[x_0]=f(3,2)=5,7243,
P_2(x)=5,7243+2,825142857\ldots\,(x-3,2)+0,194285714\ldots\,(x-3,2)(x-3,9).
Avalio em x=3,5. Primeiro os deslocamentos:
3,5-3,2=0,3,\qquad 3,5-3,9=-0,4.
Calculo cada termo:
\text{termo linear}=2,825142857\ldots\times0,3=0,8475428571\ldots
\text{termo quadrático}=0,194285714\ldots\times0,3\times(-0,4) =0,194285714\ldots\times(-0,12)=-0,0233142857\ldotsá
Somando tudo:
P_2(3,5)=5,7243+0,8475428571\ldots-0,0233142857\ldots=6,5485285714\ldots
Arredondando à mesma precisão dos dados (4 casas decimais):
P_{2}(3,5)\approx6,5485.

Passo 7

Calcular o valor exato da função em x=3,5: f(x)=x\sqrt{x}. Então
f(3,5)=3,5\sqrt{3,5}.
Usando uma avaliação numérica (por exemplo calculadora) tem-se \sqrt{3,5}\approx1,870828693\ldots, logo
f(3,5)=3,5\times1,870828693\ldots=6,5479004279\ldots
Arredondando consequentemente:
f(3,5)\approx6,547900428.

Passo 8

Agora o erro absoluto:
\left|f(3,5)-P_{2}(3,5)\right| =\bigl|6,5479004279\ldots-6,5485285714\ldots\bigr| =0,0006281435\ldots
Arredondando (mantendo sentido significativo):
\left|f(3,5)-P_{2}(3,5)\right|\approx0,0006281.

Resposta

P_{2}(3,5)\approx6,5485
\left|f(3,5)-P_{2}(3,5)\right|\approx0,0006281

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