Considere a tabela da função
.
2,0
2,5
3,2
3,9
4,1
5,0
2,8284
3,9528
5,7243
7,7019
8,3019
11,1803
a) Calcular
.
b) Calcular
|
|
2,0 | 2,5 | 3,2 | 3,9 | 4,1 | 5,0 |
|
|
2,8284 | 3,9528 | 5,7243 | 7,7019 | 8,3019 | 11,1803 |
b) Calcular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular
, o polinómio interpolador de grau 2 avaliado em . - (b) Calcular
, o erro absoluto entre o valor verdadeiro e o valor interpolado.
Da tabela fornecida peguei explicitamente os seguintes dados:
-
com . -
com . -
com .
Vou usar esses três pontos para construir o polinómio quadrático
(escolhi-os porque são os três nós mais próximos de
, o que tende a reduzir o erro da interpolação).
Passo 2
Escolhi usar o polinómio na forma de Newton com diferenças divididas porque é um método direto e fácil de calcular passo a passo: basta calcular diferenças de primeira e segunda ordem e depois avaliar o polinómio. A forma geral (grau 2) é:
Aqui:
-
são os nós usados (aqui ). -
. -
é a diferença dividida de primeira ordem. -
é a diferença dividida de segunda ordem.
Vou calcular as diferenças divididas com os números que peguei da tabela.
Passo 3
Calcular a primeira diferença dividida entre
e
:
Faço a subtração no numerador:
Agora divido por
:
Passo 4
Calcular a primeira diferença dividida entre
e
:
No numerador
. Dividindo por
dá:
Passo 5
Calcular a segunda diferença dividida
:
No numerador temos
e no denominador
. Portanto
Passo 6
Agora escrevo o polinómio de Newton e avalio em
. Lembrando
,
Avalio em
. Primeiro os deslocamentos:
Calculo cada termo:
Somando tudo:
Arredondando à mesma precisão dos dados (4 casas decimais):
Passo 7
Calcular o valor exato da função em
:
. Então
Usando uma avaliação numérica (por exemplo calculadora) tem-se
, logo
Arredondando consequentemente:
Passo 8
Agora o erro absoluto:
Arredondando (mantendo sentido significativo):