Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(f) S \cap T

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão de S\cap T, onde
S=\Span\{(1,-1,2),(2,1,1)\},\quad T=\Span\{(0,1,-1),(1,2,1)\}.
Para encontrar S\cap T vamos usar que todo vetor v\in S\cap T pode ser escrito simultaneamente como combinação linear das geradoras de S e de T.

Passo 2

Seja
v=(x,y,z)\in S\cap T.
Então existem escalares a,b,c,d tais que
v=a(1,-1,2)+b(2,1,1)=(a+2b,\,-a+b,\,2a+b)
e
v=c(0,1,-1)+d(1,2,1)=(d,\;c+2d,\;-c+d).
Igualamos as componentes:
\begin{cases} a+2b=d,\\\\ -\,a+b=c+2d,\\\\ 2a+b=-\,c+d. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
d=a+2b.
Substituindo em -a+b=c+2d
c=-3(a+b).
E em 2a+b=-c+d obtemos
2a+b=3(a+b)+(a+2b)\;\Longrightarrow\;a+2b=0 \;\Longrightarrow\;a=-2b.
Logo
c=3b,\quad d=0.
Então
v=(d,\;c+2d,\;-c+d)=(0,\;3b,\;-3b)=3b\,(0,1,-1).

Passo 4

Concluímos que
S\cap T=\Span\{(0,1,-1)\},
que é um subespaço unidimensional.

Resposta

Uma base de S\cap T é \{(0,1,-1)\} e \dim(S\cap T)=1.

Exercícios relacionados