Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(g) T+U

Passo 1

O enunciado pede a soma dos subespaços \displaystyle T=\text{span}\{(0,1,-1),\,(1,2,1)\}
e \displaystyle U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3; x+y=0,\;4x-z=0\},
isto é, T+U=\{\mathbf t+\mathbf u;\,\mathbf t\in T,\mathbf u\in U\}.
Vamos achar uma base de U, depois usar os geradores de T e U para ver se ampliam o espaço ou não, e então obter a dimensão.

Passo 2

Resolvendo as equações de U:
x+y=0\implies y=-x, \qquad 4x-z=0\implies z=4x.
Logo
U=\{(x,-x,4x);\;x\in\mathbb{R}\} =\{x\,(1,-1,4);\;x\in\mathbb{R}\}
e uma base de U é
\{(1,-1,4)\},
com \dim(U)=1.

Passo 3

Um conjunto gerador de T+U é a união dos geradores:
\{(0,1,-1),\;(1,2,1),\;(1,-1,4)\}.
Vamos verificar se estes três vetores são linearmente independentes ou se um deles fica no span dos outros.

Passo 4

Suponha
\alpha\,(0,1,-1)+\beta\,(1,2,1) =\;(1,-1,4).
Das componentes obtemos o sistema
\begin{cases} 0\cdot\alpha +1\cdot\beta = 1,\\\\ 1\cdot\alpha +2\cdot\beta = -1,\\\\ -1\cdot\alpha +1\cdot\beta = 4. \end{cases}
Da primeira equação \beta=1. Substituindo na segunda dá \alpha+2= -1\implies\alpha=-3, e na terceira -(-3)+1=4, que bate. Logo
(1,-1,4) =-3\,(0,1,-1)+1\,(1,2,1),
isto é, o gerador de U está em T. Portanto T+U=T.

Passo 5

Como U\subset T, segue-se T+U=T. Já sabemos que \dim(T)=2 (os dois geradores de T são independentes), logo
\dim(T+U)=2
e uma base de T+U é a mesma base de T.

Resposta

Uma base de T+U é
\{(0,1,-1),\,(1,2,1)\},
e \dim(T+U)=2.

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