Exercício 8. Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
\begin{aligned} S \doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T \doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] \\\ U \doteq\{(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0\} & \text { e } V \doteq\{(x, y, z) ; 3 x-y-z=0\} \end{aligned}
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ):
(g) T+U
Passo 1
O enunciado pede a soma dos subespaços \displaystyle T=\text{span}\{(0,1,-1),\,(1,2,1)\}
e \displaystyle U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3; x+y=0,\;4x-z=0\},
isto é, T+U=\{\mathbf t+\mathbf u;\,\mathbf t\in T,\mathbf u\in U\}.
Vamos achar uma base de U, depois usar os geradores de T e U para ver se ampliam o espaço ou não, e então obter a dimensão.